Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 29 № 6956
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство 2 в сте­пе­ни n боль­ше или равно 2n в квад­ра­те минус 3n плюс 1 в на­ту­раль­ных чис­лах.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Для n=1 не­ра­вен­ство верно, так как 2 боль­ше или равно 2. Пред­по­ла­гая вер­ным не­ра­вен­ство 2 в сте­пе­ни n боль­ше или равно 2n в квад­ра­те минус 3n плюс 1, до­ка­жем не­ра­вен­ство

2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 2 левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 3 левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1 рав­но­силь­но 2 умно­жить на 2 в сте­пе­ни n боль­ше или равно 2n в квад­ра­те плюс n.

По пред­по­ло­же­нию ин­дук­ции,

2 умно­жить на 2 в сте­пе­ни n боль­ше или равно 2 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 2n в квад­ра­те минус 3n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = 4n в квад­ра­те минус 6n плюс 2.

Решим не­ра­вен­ство

4n в квад­ра­те минус 6n плюс 2 боль­ше или равно 2n в квад­ра­те плюс n рав­но­силь­но 2n в квад­ра­те минус 7n боль­ше или равно минус 2 рав­но­силь­но n левая круг­лая скоб­ка 2n минус 7 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно минус 2 \underset n при­над­ле­жит N \mathop рав­но­силь­но n = 4, 5, 6 \ldots .

Ин­дук­ци­он­ный пе­ре­ход до­ка­зан для n = 4, 5, 6 \ldots , а база ин­дук­ции была про­ве­ре­на для n=1. Не­об­хо­ди­ма новая база. Про­ве­ряя числа 4 и 5, убеж­да­ем­ся, что они не под­хо­дят. Сле­до­ва­тель­но, по прин­ци­пу ма­те­ма­ти­че­ской ин­дук­ции не­ра­вен­ство до­ка­за­но для на­ту­раль­ных чисел n, на­чи­ная с 6. Кроме того не­ра­вен­ство верно для чисел 1 и 2.

 

Ответ: все на­ту­раль­ные n, кроме 3, 4, 5.

 

При­ве­дем идею дру­го­го ре­ше­ния.

База ин­дук­ции. Пусть A левая круг­лая скоб­ка n пра­вая круг­лая скоб­ка = 2 в сте­пе­ни n , B левая круг­лая скоб­ка n пра­вая круг­лая скоб­ка = 2n в квад­ра­те минус 3n плюс 1. Не­ра­вен­ство A левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно B левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка верно.

Шаг ин­дук­ции: до­ка­жем не­ра­вен­ство A левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус A левая круг­лая скоб­ка n пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше B левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус B левая круг­лая скоб­ка n пра­вая круг­лая скоб­ка . Имеем:

2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2 в сте­пе­ни n боль­ше или равно 2 левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 3 левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1 минус левая круг­лая скоб­ка 2n в квад­ра­те минус 3n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но 2 в сте­пе­ни n боль­ше или равно 4n минус 1.

По­лу­чен­ное не­ра­вен­ство можно от­дель­но до­ка­зать ме­то­дом ма­те­ма­ти­че­ской ин­дук­ции.

Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025