РЕШУ УРОК: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 29 № 6148 Добавить в вариант

Решите неравенство $3 в степени n больше или равно 2n в квадрате плюс n$ в натуральных числах.

Решение.

Для $n=1$ неравенство верно, поскольку $3 в степени 1 больше или равно 2 плюс 1.$ Считая $n=1$ базой индукции, докажем индукционный переход.

Предполагая верным неравенство $3 в степени n больше или равно 2n в квадрате плюс n$ для некоторого натурального числа n, докажем справедливость неравенства $3 в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка больше или равно 2 левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка в квадрате плюс n плюс 1.$ Запишем его в виде

$3 в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка больше или равно 2n в квадрате плюс 5n плюс 3,$

и воспользуемся предположением индукции:

$3 в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка = 3 умножить на 3 в степени n больше или равно 3 левая круглая скобка 2n в квадрате плюс n правая круглая скобка = 6n в квадрате плюс 3n.$

Индукционный переход будет доказан, если доказать, что выполнено неравенство $6n в квадрате плюс 3n больше 2n в квадрате плюс 5n плюс 3.$ Проверим это:

$6n в квадрате плюс 3n больше 2n в квадрате плюс 5n плюс 3 равносильно 4n в квадрате минус 2n больше 3 равносильно 2n левая круглая скобка 2n минус 1 правая круглая скобка больше 3.$

Полученное неравенство верно при всех натуральных n таких, что $n больше или равно 2.$

Индукционный переход доказан для $n больше или равно 2.$ База индукции была проверена для $n=1.$ Следовательно, пока применять принцип математической индукции нельзя. Необходима новая база индукции.

Для $n=2$ неравенство неверно, поскольку левая часть равна 9, а правая часть равна 10. Для $n=3$ неравенство верно, поскольку левая часть равна 27, а правая часть равна 21. Методом математической индукции неравенство доказано для $n=3, 4, 5, \ldots .$

Ответ: $n=1, 3, 4, 5, \ldots .$

Спрятать решение · Помощь