а)  База ин­дук­ции. Для не­ра­вен­ство верно, по­сколь­ку

б)  Шаг ин­дук­ции. Пред­по­ло­жим, что для не­ко­то­ро­го числа n верно не­ра­вен­ство До­ка­жем, что тогда верно и не­ра­вен­ство

Пре­об­ра­зу­ем левую часть не­ра­вен­ства:

По пред­по­ло­же­нию ин­дук­ции а по­то­му

Ин­дук­ци­он­ный пе­ре­ход будет до­ка­зан, если по­ка­зать, что пра­вая часть по­лу­чен­но­го не­ра­вен­ства для всех на­ту­раль­ных чисел боль­ше чем Про­ве­рим это:

По­след­нее не­ра­вен­ство верно, что до­ка­зы­ва­ет ин­дук­ци­он­ный пе­ре­ход.

Из пунк­тов а) и б) по прин­ци­пу ма­те­ма­ти­че­ской ин­дук­ции не­ра­вен­ство до­ка­за­но для всех на­ту­раль­ных чисел.

При­ме­ча­ние.

Этим до­ста­точ­но уни­вер­саль­ным спо­со­бом до­ка­зы­ва­ют­ся мно­гие не­ра­вен­ства. См. на­при­мер, 6148 и 6956.

При­ме­ча­ние.

Не­ра­вен­ство можно до­ка­зать, пре­об­ра­зо­вы­вая фак­то­ри­а­лы. Об­ра­тим вни­ма­ние чи­та­те­ля на то, что