1. Обо­зна­чим левую часть не­ра­вен­ства через a_n.

а)  База ин­дук­ции. При не­ра­вен­ство верно.

б)  Ин­дук­ци­он­ный пе­ре­ход. Пусть до­ка­жем, что

За­ме­тим, что

Решим не­ра­вен­ство:

По­лу­чен­ное не­ра­вен­ство верно, ин­дук­ци­он­ный пе­ре­ход до­ка­зан.

в)  Из пунк­тов а) и б) по прин­ци­пу ма­те­ма­ти­че­ской ин­дук­ции сле­ду­ет, что не­ра­вен­ство до­ка­за­но для всех на­ту­раль­ных чисел n.

2.  Ка­за­лось бы, вто­рое не­ра­вен­ство долж­но до­ка­зы­вать­ся пол­но­стью ана­ло­гич­ны­ми рас­суж­де­ни­я­ми, но... ин­дук­ци­он­ный пе­ре­ход ока­зы­ва­ет­ся не­ве­рен (про­верь­те). Что же де­лать?

За­ме­тим, что вы­пол­не­ние не­ра­вен­ства 1) уже озна­ча­ет вы­пол­не­ние не­ра­вен­ства 2). В этом со­сто­ит так на­зы­ва­е­мый «па­ра­докс ин­дук­ции»: до­ка­за­тель­ство более силь­но­го утвер­жде­ния ино­гда ока­зы­ва­ет­ся проще, чем более сла­бо­го. Объ­яс­не­ние кро­ет­ся в том, что хотя при­хо­дит­ся до­ка­зы­вать более силь­ное за­клю­че­ние, но можно поль­зо­вать­ся и более силь­ным пред­по­ло­же­ни­ем ин­дук­ции.