Ре­ше­ние.

Пусть Тогда   — ре­ше­ний нет. Си­сте­ма не имеет ре­ше­ний.

Ответ:

Ре­ше­ние. Из (2): Про­ве­рим пары из них пары и   — ре­ше­ния.

Если и то так как (мень­ше y?) Дру­гих ре­ше­ний нет.

Ответ:

Ре­ше­ние. По­ло­жим тогда си­сте­ма за­пи­шет­ся в сим­мет­рич­ном виде:

Из пер­во­го урав­не­ния сле­ду­ет, что ни­ка­кая из пе­ре­мен­ных, взя­тая по мо­ду­лю, не пре­вос­хо­дит еди­ни­цы. Тогда из вто­ро­го урав­не­ния сле­ду­ет, что ни­ка­кая из пе­ре­мен­ных не при­ни­ма­ет от­ри­ца­тель­ных зна­че­ний. Если то спра­вед­ли­ва оцен­ка

а по­то­му урав­не­ния си­сте­мы про­ти­во­ре­чи­вы: обе суммы не могут быть рав­ны­ми 1 од­но­вре­мен­но. Оста­лось про­ве­рить два слу­чая: если то если то

Воз­вра­ща­ясь к ис­ход­ным пе­ре­мен­ным, на­хо­дим: если то если то

Ответ:

Ре­ше­ние. Ответ:

Ре­ше­ние. За­пи­шем си­сте­му в виде

Из тре­тье­го урав­не­ния сле­ду­ет, что а по­сколь­ку по­лу­ча­ем: Рас­смот­рим вто­рое урав­не­ние как квад­рат­ное от­но­си­тель­но y и най­дем его чет­верть дис­кри­ми­нан­та:

По­лу­чен­ное вы­ра­же­ние не­от­ри­ца­тель­но при и при Учи­ты­вая усло­вие за­клю­ча­ем, что воз­мож­ны два ва­ри­ан­та: или При най­ден­ных зна­че­ни­ях z из вто­ро­го урав­не­ния на­хо­дим то есть со­от­вет­ствен­но и Из пер­во­го урав­не­ния для на­хо­дим, что а для на­хо­дим, что

Под­ста­вим най­ден­ные зна­че­ния x, y и z в ис­ход­ную си­сте­му. Убеж­да­ем­ся, что обе най­ден­ный трой­ки чисел дей­стви­тель­но яв­ля­ют­ся ре­ше­ни­я­ми.

Ответ:

Ре­ше­ние. Ответ:

Ре­ше­ние. Вы­де­лим пол­ный квад­рат во вто­ром урав­не­нии си­сте­мы:

Ясно, что тогда, так как по усло­вию по­лу­ча­ем Рас­кро­ем скоб­ки в тре­тьем урав­не­нии:

Вы­чис­лим чет­верть дис­кри­ми­нан­та по­лу­чен­но­го урав­не­ния:

Дис­кри­ми­нант не­от­ри­ца­те­лен, если или Учи­ты­вая, что по­лу­чим, что z  =  0 либо z  =  2. Вер­нем­ся к преды­ду­ще­му шагу:

1)  Если z  =  0, то:

2)  Если z  =  2, то:

Про­ве­рим по­лу­чив­ши­е­ся пары под­ста­нов­кой в пер­вое и тре­тье урав­не­ния:

1)  При y  =  2, z  =  0:

Эта пара под­хо­дит.

2)  При y  =  0, z  =  0:

Эта пара не под­хо­дит.

3)  При y  =  1, z  =  2:

Эта пара под­хо­дит.

Ответ:

Ре­ше­ние. Ответ:

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим пер­вое урав­не­ние си­сте­мы как квад­рат­ное от­но­си­тель­но х, по­лу­чим:

Урав­не­ние имеет ре­ше­ния, если не­от­ри­ца­те­лен его дис­кри­ми­нант:

Итак, лишь при Най­ден­но­му зна­че­нию y со­от­вет­ству­ет Под­ста­нов­кой в оба урав­не­ния си­сте­мы убеж­да­ем­ся, что пара дей­стви­тель­но яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем си­сте­мы.

Ответ:

Ре­ше­ние. Ответ:

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим вто­рое урав­не­ние си­сте­мы. Число не яв­ля­ет­ся его ре­ше­ни­ем. Для на­хо­дим: Под­ста­вим най­ден­ное зна­че­ние в пер­вое урав­не­ние. Имеем:

От­ку­да x  =  1 или

Под­став­ляя най­ден­ные зна­че­ния х в вы­ра­же­ние по­лу­ча­ем пары ре­ше­ний си­сте­мы:

Усло­вию удо­вле­тво­ря­ет толь­ко пара (1; 1).

Ответ: (1; 1).

Из­ло­жим идею дру­го­го ре­ше­ния.

Вы­ра­зим y как функ­цию x из пер­во­го и вто­ро­го урав­не­ний си­сте­мы:

и по­стро­им эс­ки­зы гра­фи­ков этих функ­ций. Гра­фи­ки пе­ре­се­ка­ют­ся в 1, 2 и 4 чет­вер­тях, а усло­вию удо­вле­тво­ря­ют лишь точки, ле­жа­щие в пер­вой чет­вер­ти. Одна из них  — точка (1; 1). Чтобы по­ка­зать, что она в этой чет­вер­ти един­ствен­ная, можно найти про­из­вод­ные:

и за­ме­тить, что пря­мая яв­ля­ет­ся общей ка­са­тель­ной к гра­фи­кам в точке (1; 1). Оста­лось найти знаки вто­рых про­из­вод­ных в пер­вой чет­вер­ти:

и об­на­ру­жить, что из функ­ций в силу вы­пук­ло­сти функ­ции лежит це­ли­ком под ка­са­тель­ной, а дру­гой лежит це­ли­ком над ней. От­сю­да сле­ду­ет един­ствен­ность точки пе­ре­се­че­ния.

Ре­ше­ние. Из вто­ро­го урав­не­ния До­мно­жим пер­вое урав­не­ние на и ис­поль­зу­ем это усло­вие:

Здесь можно уга­дать ко­рень по­это­му мно­го­член имеет мно­жи­тель Раз­ло­жим его на мно­жи­те­ли.

Зна­чит, либо либо то есть Но

по­это­му для этих чисел и такие от­ве­ты нас не ин­те­ре­су­ют.

Если же то и это дей­стви­тель­но ответ.

Ответ: