Из­ба­вим­ся от знака аб­со­лют­ной ве­ли­чи­ны, по­лу­чим

Функ­ция опре­де­ле­на, если и если при По­след­ние два усло­вия сов­мест­но озна­ча­ют, что Таким об­ра­зом, об­ласть опре­де­ле­ния функ­ции за­да­ет­ся усло­ви­я­ми:

где па­ра­мет­ры m, n, p при­ни­ма­ют все целые зна­че­ния.

Умно­жим чис­ли­те­ли и зна­ме­на­те­ли за­да­ю­ще­го функ­цию вы­ра­же­ния на и при­ме­ним фор­му­лы двой­но­го угла. По­лу­чим:

На ри­сун­ке  1 гра­фик функ­ции вы­де­лен зе­ле­ным, гра­фик функ­ции вы­де­лен синим.

Чтобы по­лу­чить гра­фик функ­ции f, вы­бе­рем на по­стро­ен­ных гра­фи­ках участ­ки с абс­цис­са­ми для си­ну­са и с абс­цис­са­ми для тан­ген­са, объ­еди­ним по­лу­чен­ные части гра­фи­ков и ис­клю­чим из по­лу­чен­но­го объ­еди­не­ния точки, ле­жа­щие вне ОДЗ. Гра­фик функ­ции изоб­ра­жен на ри­сун­ке 2.

Ответ: см. рис.

При­ме­ча­ние.

Эта за­да­ча пред­ла­га­лась на всту­пи­тель­ных эк­за­ме­нах в СПбГУ в 1995 году. Пол­ный ва­ри­ант: пе­рей­ти.

Ответ:

Рас­кро­ем мо­ду­ли на про­ме­жут­ках.

1.  Если оба сла­га­е­мых в левой части урав­не­ния функ­ции не­от­ри­ца­тель­ны, то:

Гра­фик дан­ной функ­ции есть гра­фик функ­ции сжа­тый в 2 раза по оси абс­цисс.

Найдём, при каких зна­че­ни­ях x ис­ход­ная функ­ция при­ни­ма­ет такой вид:

2.  Если пер­вое сла­га­е­мое в левой части урав­не­ния функ­ции не­от­ри­ца­тель­но, а вто­рое  — от­ри­ца­тель­но, то:

Гра­фик дан­ной функ­ции  — пря­мая.

Найдём, при каких зна­че­ни­ях x ис­ход­ная функ­ция при­ни­ма­ет такой вид:

3.  Если вто­рое сла­га­е­мое в левой части урав­не­ния функ­ции не­от­ри­ца­тель­но, а пер­вое  — от­ри­ца­тель­но, то ре­ше­ний нет, по­сколь­ку такое усло­вие на сла­га­е­мые не может быть вы­пол­не­но. По­ка­жем это:

Дан­ная си­сте­ма не имеет ре­ше­ний при всех

4.  Если оба сла­га­е­мых в левой части урав­не­ния функ­ции от­ри­ца­тель­ны, то:

Гра­фик дан­ной функ­ции ана­ло­ги­чен гра­фи­ку функ­ции зер­каль­но отражённому и сжа­то­му в 2 раза по оси абс­цисс.

Найдём, при каких зна­че­ни­ях x ис­ход­ная функ­ция при­ни­ма­ет такой вид:

Ито­го­вый гра­фик бес­ко­не­чен и пе­ри­о­ди­чен. Функ­ция, ко­то­рая его задаёт, имеет сле­ду­ю­щий вид:

Ответ:

Ответ:

Пе­ре­пи­шем за­да­ю­щее функ­цию вы­ра­же­ние, ис­поль­зуя со­от­но­ше­ние

Оста­лось по­стро­ить гра­фи­ки функ­ций и в одной си­сте­ме ко­ор­ди­нат и опре­де­лить участ­ки, на ко­то­рых один из них выше дру­го­го (см. рис.).

Ответ: