PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Тангенсы половинных углов прямоугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию. Найти углы треугольника.
Тангенсы углов треугольника образует арифметическую прогрессию, причем наименьший угол равен 
Найти углы треугольника.
Верно ли, что для всякой арифметической прогрессии из четырех положительных чисел существует выпуклый четырехугольник, длинами сторон которого являются эти числа?
Найдите все четырехугольники, длины сторон и углы которых (взятые в циклических порядках) образуют арифметические прогрессии.
Площадь выпуклого четырехугольника АВСD равна S. Длины его сторон AB, BC, СD и DA в указанном порядке образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Найдите ее разность, зная, что острый угол между диагоналями четырехугольника равен φ и AB = a.
Четырехугольник АВСD описан около окружности радиуса r. Длина его сторон АВ, ВС, DA, и CD в указанном порядке образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Найдите ее разность, зная, что острый угол между диагоналями четырехугольника равен γ и AB = b.
Найдите все треугольники, длины сторон и величины углов которых образуют арифметические прогрессии.
тогда второй равен 
Острые углы треугольника не могут быть равными, поскольку 
— не арифметическая прогрессия. Пусть 
тогда 
и запишем характеристическое свойство этой прогрессии:
и 
то существует замкнутая выпуклая ломаная, длины звеньев которой равны аi. 
(отрезок CK параллелен стороне AB), откуда следует, что 
т. е. этот четырехугольник является прямоугольником.
где C — точка пересечения диагоналей. Из теоремы косинусов следует, что 
и 
т. е. α — острый угол и, следовательно, 
Остается найти положительный корень уравнения 
это число 
Если а — длина стороны, противоположной этому углу, то длины остальных сторон треугольника — 
По формуле косинусов
