РЕШУ УРОК: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 19 № 3325 Добавить в вариант

Площадь выпуклого четырехугольника АВСD равна S. Длины его сторон AB, BC, СD и DA в указанном порядке образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Найдите ее разность, зная, что острый угол между диагоналями четырехугольника равен φ и AB = a.

Спрятать решение

Решение.

Пусть d  — разность арифметической прогрессии. Положим $CA=x_1,$ $OB=x_2,$ $OC=x_3,$ $OD=x_4,$ $\angle AOB= альфа ,$ где C  — точка пересечения диагоналей. Из теоремы косинусов следует, что

$a в квадрате =x в квадрате _1 плюс x_2 в квадрате минус 2x_1x_2 косинус альфа ,$

$левая круглая скобка a плюс d правая круглая скобка в квадрате =x_2 в квадрате плюс x в квадрате _3 плюс 2x_2x_3 косинус альфа ,$

$левая круглая скобка a плюс 2d правая круглая скобка в квадрате =x в квадрате _3 плюс x в квадрате _4 минус 2x_3x_4 косинус альфа ,$

$левая круглая скобка a плюс 3d правая круглая скобка в квадрате =x в квадрате _4 плюс x в квадрате _1 плюс 2x_4x_1 косинус альфа .$

Отсюда получаем

$левая круглая скобка a плюс 3d правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка a плюс 2d правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка a плюс d правая круглая скобка в квадрате минус a в квадрате =2 косинус альфа левая круглая скобка x_4x_1 плюс x_3x_4 плюс x_2x_3 плюс x_1x_2 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка a плюс 3d правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка a плюс 2d правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка a плюс d правая круглая скобка в квадрате минус$
$минус a в квадрате =2 косинус альфа левая круглая скобка x_4x_1 плюс x_3x_4 плюс x_2x_3 плюс x_1x_2 правая круглая скобка ,$

т. е.

$d левая круглая скобка 2a плюс 5d правая круглая скобка плюс d левая круглая скобка 2a плюс d правая круглая скобка =2 косинус альфа дробь: числитель: 2S, знаменатель: синус альфа конец дроби .$

Следовательно, $d левая круглая скобка 2a плюс 3d правая круглая скобка =2S\ctg альфа .$

Заметим, что $альфа больше 0,$ и $\ctg альфа больше 0,$ т. е. α — острый угол и, следовательно, $альфа = \varphi.$ Остается найти положительный корень уравнения $3d в квадрате плюс 2ad минус 2S \ctg \varphi=0,$ это число $дробь: числитель: минус a плюс корень из: начало аргумента: a, знаменатель: в степени к онец дроби 2 конец аргумента плюс 6S\ctg\varphi 3.$

Ответ: $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: a, знаменатель: в степени к онец дроби 2 конец аргумента плюс 6S\ctg\varphi минус a3.$

Аналоги к заданию № 3325: 3326 5448 Все

Спрятать решение · Помощь