Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 24 № 3683
i

Ре­ши­те урав­не­ние или не­ра­вен­ство \log _ дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше \log _ дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­си­нус x.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Решим не­ра­вен­ство:

\log _ дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше \log _ дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­си­нус x \underset дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше 1\mathop рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби боль­ше 0, ко­си­нус x боль­ше 0, ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби боль­ше ко­си­нус x конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний минус Пи плюс 4 Пи k мень­ше x мень­ше Пи плюс 4 Пи k, минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k мень­ше x мень­ше дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби боль­ше ко­си­нус x конец си­сте­мы . рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 4 Пи k мень­ше x мень­ше дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 4 Пи k, k при­над­ле­жит Z , ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби боль­ше ко­си­нус x. конец си­сте­мы .

 

Под­ста­вим гра­нич­ные зна­че­ния из ОДЗ во вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы, по­лу­чим:

 

ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 4 Пи k пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 4 Пи k пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби боль­ше 0   — верно,

ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 4 Пи k пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 4 Пи k пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби боль­ше 0   — верно.

 

За­ме­тим также, что для всех углов, чьи ко­си­ну­сы лежат в ин­тер­ва­ле левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 4 Пи k; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 4 Пи k пра­вая круг­лая скоб­ка , где k при­над­ле­жит Z  , ко­си­нус по­ло­вин­но­го угла будет боль­ше ко­си­ну­са дан­но­го угла, за ис­клю­че­ни­ем слу­чая, когда они равны, то есть при x=0 плюс 4 Пи k=4 Пи k . Ис­клю­чив этот слу­чай из не­ра­вен­ства, за­да­ю­ще­го ОДЗ, по­лу­ча­ем ответ.

 

Ответ: \bigcup\limits_k при­над­ле­жит Z левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 4 Пи k;4 Пи k пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 4 Пи k; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 4 Пи k пра­вая круг­лая скоб­ка .


Аналоги к заданию № 3682: 3683 Все

Спрятать решение · Прототип задания · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025