РЕШУ УРОК — алгебра

Задания

Тип 24 № 3683 Добавить в вариант

Комбинированные задания для подготовки к экзаменам.7. Решите уравнение или неравенство

Решите уравнение или неравенство $\log _ дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби меньше \log _ дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби косинус x.$

Решение. Решим неравенство:

$\log _ дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби меньше \log _ дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби косинус x \underset дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше 1\mathop равносильно система выражений косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби больше 0, косинус x больше 0, косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби больше косинус x конец системы . равносильно система выражений минус Пи плюс 4 Пи k меньше x меньше Пи плюс 4 Пи k, минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k меньше x меньше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби больше косинус x конец системы . равносильно$ $\log _ дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби меньше \log _ дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби косинус x \underset дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше 1\mathop равносильно система выражений косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби больше 0, косинус x больше 0, косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби больше косинус x конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений минус Пи плюс 4 Пи k меньше x меньше Пи плюс 4 Пи k, минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k меньше x меньше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби больше косинус x конец системы . равносильно$ $\log _ дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби меньше \log _ дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби косинус x \underset дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше 1\mathop равносильно$
$\underset дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше 1\mathop равносильно система выражений косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби больше 0, косинус x больше 0, косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби больше косинус x конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений минус Пи плюс 4 Пи k меньше x меньше Пи плюс 4 Пи k, минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k меньше x меньше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби больше косинус x конец системы . равносильно$

$равносильно система выражений минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 4 Пи k меньше x меньше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 4 Пи k, k принадлежит Z , косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби больше косинус x. конец системы .$

Подставим граничные значения из ОДЗ во второе неравенство системы, получим:

$косинус левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 4 Пи k правая круглая скобка больше косинус левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 4 Пи k правая круглая скобка равносильно дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби больше 0$   — верно,

$косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 4 Пи k правая круглая скобка больше косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 4 Пи k правая круглая скобка равносильно дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби больше 0$   — верно.

Заметим также, что для всех углов, чьи косинусы лежат в интервале $левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 4 Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 4 Пи k правая круглая скобка ,$ где $k принадлежит Z$  , косинус половинного угла будет больше косинуса данного угла, за исключением случая, когда они равны, то есть при $x=0 плюс 4 Пи k=4 Пи k$  . Исключив этот случай из неравенства, задающего ОДЗ, получаем ответ.

Ответ: $\bigcup\limits_k принадлежит Z левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 4 Пи k;4 Пи k правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 4 Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 4 Пи k правая круглая скобка .$

3683

$\bigcup\limits_k принадлежит Z левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 4 Пи k;4 Пи k правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 4 Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 4 Пи k правая круглая скобка .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	3683	$\bigcup\limits_k принадлежит Z левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 4 Пи k;4 Пи k правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 4 Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 4 Пи k правая круглая скобка .$