РЕШУ УРОК: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 19 № 3309 Добавить в вариант

Различные числа a, b, c образуют геометрическую прогрессию (в указанном порядке), а числа $левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка , левая круглая скобка b плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка , левая круглая скобка c плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка$   — арифметическую. Найдите сумму арифметической прогрессии, если a, b, c > 0.

Спрятать решение

Решение.

Пусть q  — знаменатель этой геометрической прогрессии, тогда $b=aq,$ $c=aq в квадрате .$ Значит, числа $дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс a конец дроби ,$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс aq конец дроби ,$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс aq в квадрате конец дроби$ образуют арифметическую прогрессию. Тогда удвоенный средний ее член равен сумме двух остальных, то есть

$дробь: числитель: 2, знаменатель: 1 плюс aq конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс a конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс aq в квадрате конец дроби .$

Упростим, домножив на знаменатели:

$2 левая круглая скобка 1 плюс a правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс aq в квадрате правая круглая скобка = левая круглая скобка 1 плюс aq правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс aq в квадрате правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 1 плюс aq правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс a правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 2 плюс 2a плюс 2aq в квадрате плюс 2a в квадрате q в квадрате =1 плюс aq плюс aq в квадрате плюс a в квадрате q в кубе плюс 1 плюс aq плюс a плюс a в квадрате q равносильно$
$равносильно a плюс aq в квадрате плюс 2a в квадрате q в квадрате =2aq плюс a в квадрате q в кубе плюс a в квадрате q равносильно 1 плюс q в квадрате плюс 2aq в квадрате =2q плюс aq в кубе плюс aq равносильно$
$равносильно 1 минус 2q плюс q в квадрате =aq в кубе минус 2aq в квадрате плюс aq равносильно левая круглая скобка 1 минус q правая круглая скобка в квадрате =aq левая круглая скобка 1 минус q правая круглая скобка в квадрате .$ $2 левая круглая скобка 1 плюс a правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс aq в квадрате правая круглая скобка = левая круглая скобка 1 плюс aq правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс aq в квадрате правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 1 плюс aq правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс a правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 2 плюс 2a плюс 2aq в квадрате плюс 2a в квадрате q в квадрате =1 плюс aq плюс aq в квадрате плюс a в квадрате q в кубе плюс 1 плюс aq плюс a плюс a в квадрате q равносильно$
$равносильно a плюс aq в квадрате плюс 2a в квадрате q в квадрате =2aq плюс a в квадрате q в кубе плюс a в квадрате q равносильно$
$равносильно 1 плюс q в квадрате плюс 2aq в квадрате =2q плюс aq в кубе плюс aq равносильно$
$равносильно 1 минус 2q плюс q в квадрате =aq в кубе минус 2aq в квадрате плюс aq равносильно левая круглая скобка 1 минус q правая круглая скобка в квадрате =aq левая круглая скобка 1 минус q правая круглая скобка в квадрате .$ $2 левая круглая скобка 1 плюс a правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс aq в квадрате правая круглая скобка = левая круглая скобка 1 плюс aq правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс aq в квадрате правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 1 плюс aq правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс a правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 2 плюс 2a плюс 2aq в квадрате плюс 2a в квадрате q в квадрате =1 плюс aq плюс aq в квадрате плюс a в квадрате q в кубе плюс 1 плюс aq плюс a плюс a в квадрате q равносильно$
$равносильно a плюс aq в квадрате плюс 2a в квадрате q в квадрате =2aq плюс a в квадрате q в кубе плюс a в квадрате q равносильно$
$равносильно 1 плюс q в квадрате плюс 2aq в квадрате =2q плюс aq в кубе плюс aq равносильно$
$равносильно 1 минус 2q плюс q в квадрате =aq в кубе минус 2aq в квадрате плюс aq равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 1 минус q правая круглая скобка в квадрате =aq левая круглая скобка 1 минус q правая круглая скобка в квадрате .$

Заметим, что $q не равно 1,$ потому что тогда $a=b=c,$ что противоречит условию, значит, можем сократить на $левая круглая скобка 1 минус q правая круглая скобка в квадрате ,$ тогда $1=aq .$ Откуда $b = 1,$ $c = дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби$ и сумма арифметической прогрессии равна:

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс a конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс 1 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс a конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: a, знаменатель: 1 плюс a конец дроби = дробь: числитель: 1 плюс a, знаменатель: 1 плюс a конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби = 1,5.$

Ответ: 1,5.

Аналоги к заданию № 3309: 3310 Все

Спрятать решение · Помощь