Различные числа a, b, c образуют геометрическую прогрессию (в указанном порядке), а числа — арифметическую. Найдите сумму арифметической прогрессии, если a, b, c > 0.
Решение.
Пусть q — знаменатель этой геометрической прогрессии, тогда Значит, числа образуют арифметическую прогрессию. Тогда удвоенный средний ее член равен сумме двух остальных, то есть
Упростим, домножив на знаменатели:
Заметим, что потому что тогда что противоречит условию, значит, можем сократить на тогда Откуда и сумма арифметической прогрессии равна:
Три различных числа a, b, c образуют арифметическую прогрессию (в указанном порядке). Найдите произведение чисел если известно, что они образуют геометрическую прогрессию.
Решение.
Имеем:
− арифметическая прогрессия
— геометрическая прогрессия.
Тогда по характеристическим свойствам обеих прогрессий составим систему, учитывая, что ни один член ни одной прогрессии не может быть равен нулю по условию.
Итак:
Решим второе уравнение:
Проверим, возможно ли второе уравнение, подставив его в исходную систему:
— это система Виета для уравнения
Решим его:
Тогда получается, что что противоречит условию.
Значит, вернувшись к совокупности, получаем, что
Наконец, найдем значение произведения
Характеристическое свойство геометрической прогрессии состоит в том, что а тогда
— арифметическую. Найдите сумму арифметической прогрессии, если a, b, c > 0.
Значит, числа 
образуют арифметическую прогрессию. Тогда удвоенный средний ее член равен сумме двух остальных, то есть
потому что тогда 
что противоречит условию, значит, можем сократить на 
тогда 
Откуда 
и сумма арифметической прогрессии равна:
если известно, что они образуют геометрическую прогрессию.
− арифметическая прогрессия
— геометрическая прогрессия.
— это система Виета для уравнения 
что противоречит условию.
а тогда 
