Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 11 № 1298
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство вне­се­ни­ем мно­жи­те­ля под знак ра­ди­ка­ла ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та в кубе плюс 3x в квад­ра­те минус x мень­ше x в квад­ра­те плюс x минус 1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

По­де­лим не­ра­вен­ство на x, разо­брав три слу­чая.

1)  Если x=0, не­ра­вен­ство не­вер­но.

2)  Если x боль­ше 0, то пре­об­ра­зу­ем его:

дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в кубе плюс 3x в квад­ра­те минус x конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: x конец дроби мень­ше x плюс 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: x в кубе плюс 3x в квад­ра­те минус x, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби конец ар­гу­мен­та мень­ше x плюс 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 3 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби конец ар­гу­мен­та мень­ше x плюс 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби .

Пусть ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 3 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби конец ар­гу­мен­та =t, t боль­ше или равно 0, тогда x плюс 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби =x плюс 3 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби минус 2=t в квад­ра­те минус 2. По­лу­ча­ем:

t мень­ше t в квад­ра­те минус 2 рав­но­силь­но t в квад­ра­те минус t минус 2 боль­ше 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка t минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t мень­ше минус 1,t боль­ше 2 конец со­во­куп­но­сти . \undersett боль­ше или равно 0\mathop рав­но­силь­но t боль­ше 2 .

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 3 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби конец ар­гу­мен­та боль­ше 2 рав­но­силь­но x плюс 3 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби боль­ше 4 рав­но­силь­но x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби минус 1 боль­ше 0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус x минус 1 боль­ше 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,x боль­ше дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . \undersetx боль­ше 0\mathop рав­но­силь­но x боль­ше дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

3)  Если x мень­ше 0, то пре­об­ра­зу­ем его иначе:

дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в кубе плюс 3x в квад­ра­те минус x конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: x конец дроби боль­ше x плюс 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби рав­но­силь­но минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: x в кубе плюс 3x в квад­ра­те минус x, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби конец ар­гу­мен­та боль­ше x плюс 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби рав­но­силь­но минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 3 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби конец ар­гу­мен­та боль­ше x плюс 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби .

Пусть ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 3 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби конец ар­гу­мен­та =t, t боль­ше или равно 0, тогда x плюс 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби =x плюс 3 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби минус 2=t в квад­ра­те минус 2. По­лу­ча­ем:

минус t боль­ше t в квад­ра­те минус 2 рав­но­силь­но t в квад­ра­те плюс t минус 2 мень­ше 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка t плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0 рав­но­силь­но минус 2 мень­ше t мень­ше 1 рав­но­силь­но 0 мень­ше или равно t мень­ше 1.

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

0 мень­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 3 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби конец ар­гу­мен­та мень­ше 1 рав­но­силь­но 0 мень­ше или равно x плюс 3 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби мень­ше 1.

Решим пер­вое не­ра­вен­ство:

0 мень­ше или равно x плюс 3 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби рав­но­силь­но 0 боль­ше или равно x в квад­ра­те плюс 3x минус 1 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: минус 3 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: минус 3 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \undersetx мень­ше 0\mathop рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: минус 3 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно x мень­ше 0.

Решим вто­рое не­ра­вен­ство:

x плюс 3 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби мень­ше 1 рав­но­силь­но x в квад­ра­те плюс 3x минус 1 боль­ше x рав­но­силь­но x в квад­ра­те плюс 2x минус 1 боль­ше 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше минус 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ,x боль­ше минус 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец со­во­куп­но­сти . \undersetx мень­ше 0\mathop рав­но­силь­но x мень­ше минус 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

По­сколь­ку

минус 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та боль­ше минус 1 минус 2 = минус 3 = дробь: чис­ли­тель: минус 3 минус 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби боль­ше дробь: чис­ли­тель: минус 3 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,

от­ве­том на двой­ное не­ра­вен­ство будет про­ме­жу­ток левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: минус 3 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; минус 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ: левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: минус 3 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; минус 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .


Аналоги к заданию № 1298: 1299 Все

Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025