РЕШУ УРОК: задания, ответы, решения

Каталог заданий.
4. Линейные диофантовы уравнения

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 26 № 6151 Добавить в вариант

Целые числа, делимость, уравнения в целых числах. 4. Линейные диофантовы уравнения

Решите уравнение $12x плюс 28y = 202$ в целых числах.

Решение.

При всех целых значениях переменной левая часть уравнения кратна 4, а правая  — нет. Поэтому уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: решений нет.

РешениеСпрятать решение · Помощь

Тип 26 № 6152 Добавить в вариант

Целые числа, делимость, уравнения в целых числах. 4. Линейные диофантовы уравнения

Решите уравнение $3x плюс 7y = минус 5$ в целых числах.

Решение.

Частное решение: $x_0 = минус 4,$ $y_0 = 1,$ поэтому общее решение: $x = минус 4 плюс 7t,$ $y = 1 минус 3t,$ где $t = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$

РешениеСпрятать решение · Помощь

Тип 26 № 6153 Добавить в вариант

Целые числа, делимость, уравнения в целых числах. 4. Линейные диофантовы уравнения

Решите уравнение $2x минус 5y = 15$ в целых числах.

Решение.

Частное решение: $x_0 = 5,$ $y_0 = минус 1,$ поэтому общее решение: $x = 5 плюс 5t,$ $y = минус 1 плюс 2t,$ где $t = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots .$

РешениеСпрятать решение · Помощь

Тип 26 № 5293 Добавить в вариант

Целые числа, делимость, уравнения в целых числах. 4. Линейные диофантовы уравнения

Найдите все натуральные числа от 1 до 100, которые при делении на 13 дают в остатке 12, при делении на 5 дают в остатке 4.

Решение.

Числа, которые при делении на 13 дают в остатке 12, имеют вид $13k плюс 12,$ а числа, которые при делении на 5 дают в остатке 4, имеют вид $5n плюс 4.$ Решим в целых числах уравнение $13k плюс 12 = 5n плюс 4.$ Его частное решение $k_0 = минус 16,$ $n = минус 40,$ поэтому общее решение $k= минус 16 минус 5m,$ $n= минус 40 минус 13m.$ Единственное значение m, при котором числа $13k плюс 12$ и $5n плюс 4$ принимают значение от 1 до 100,  — значение m  =  −4, искомое число  — 64.

Ответ: 64.

РешениеСпрятать решение · Помощь

Тип 26 № 7428 Добавить в вариант

Целые числа, делимость, уравнения в целых числах. 4. Линейные диофантовы уравнения

Решите уравнение $135x минус 39y = 51$ в целых числах.

Решение.

Заметим, что обе части уравнения можно разделить на 3, получим уравнение:

$45x минус 13y = 17.$

Чтобы найти частное решение уравнения, будем искать наибольший общий делитель чисел 45 и 13 при помощи алгоритма Евклида (ясно, что этот делитель равен 1, нам нужно получить для него представление в виде $1 = 45p минус 13q$ ). Находим:

$45 = 3 умножить на \bold 13 плюс \bold 6,$

то есть

$6 = 45 минус 3 умножить на 13;$

$13 = 2 умножить на \bold 6 плюс \bold 1,$

то есть

$1 = 13 минус 2 умножить на 6.$

Таким образом,

$1 = 13 минус 2 умножить на 6 = 13 минус 2 умножить на левая круглая скобка 45 минус 3 умножить на 13 правая круглая скобка = 13 умножить на 7 минус 45 умножить на 2 = 45 умножить на левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка минус 13 умножить на левая круглая скобка минус 7 правая круглая скобка .$

Искомое представление найдено. Умножая обе части равенства на 17, окончательно получаем:

$45 умножить на левая круглая скобка минус 34 правая круглая скобка минус 13 умножить на левая круглая скобка минус 119 правая круглая скобка = 17 .$

Тем самым частным решением уравнения являются числа $x_0 = минус 34$ и $y_0 = минус 119.$ Поэтому общее решение есть:

$x = минус 34 плюс 13t,$

$y = минус 119 плюс 45t,$

где $t = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots .$

Приведем другое решение.

Сократим на 3, получим: $45x минус 13y = 17.$ Запишем полученное уравнение в виде

$13 левая круглая скобка 3x минус y правая круглая скобка плюс 6x =17$

и положим $z = 3x минус y.$ Тогда $13z плюс 6x = 17,$ откуда

$6 левая круглая скобка 2z плюс x правая круглая скобка плюс z = 17.$

Пусть $2z плюс x = w,$ тогда

$6w плюс z = 17,$

откуда, например, $w = 0,$ $z = 17$ (достаточно подобрать одно любое частное решение).

Обратно: уравнение $2z плюс x = w$ принимает вид $34 плюс x = 0,$ откуда $x = минус 34.$ Тогда уравнение $z = 3x минус y$ принимает вид $17 = 3 умножить на левая круглая скобка минус 34 правая круглая скобка минус y,$ откуда $y = минус 119.$ Таким образом, общее решение есть:

$x = минус 34 плюс 13t,$

$y = минус 119 плюс 45t,$

где $t = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots .$

Аналоги к заданию № 7428: 6184 Все

РешениеСпрятать решение · Помощь

Пройти тестирование по этим заданиям

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе