РЕШУ УРОК: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 26 № 7428 Добавить в вариант

Целые числа, делимость, уравнения в целых числах. 4. Линейные диофантовы уравнения

Решите уравнение $135x минус 39y = 51$ в целых числах.

Решение.

Заметим, что обе части уравнения можно разделить на 3, получим уравнение:

$45x минус 13y = 17.$

Чтобы найти частное решение уравнения, будем искать наибольший общий делитель чисел 45 и 13 при помощи алгоритма Евклида (ясно, что этот делитель равен 1, нам нужно получить для него представление в виде $1 = 45p минус 13q$ ). Находим:

$45 = 3 умножить на \bold 13 плюс \bold 6,$

то есть

$6 = 45 минус 3 умножить на 13;$

$13 = 2 умножить на \bold 6 плюс \bold 1,$

то есть

$1 = 13 минус 2 умножить на 6.$

Таким образом,

$1 = 13 минус 2 умножить на 6 = 13 минус 2 умножить на левая круглая скобка 45 минус 3 умножить на 13 правая круглая скобка = 13 умножить на 7 минус 45 умножить на 2 = 45 умножить на левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка минус 13 умножить на левая круглая скобка минус 7 правая круглая скобка .$

Искомое представление найдено. Умножая обе части равенства на 17, окончательно получаем:

$45 умножить на левая круглая скобка минус 34 правая круглая скобка минус 13 умножить на левая круглая скобка минус 119 правая круглая скобка = 17 .$

Тем самым частным решением уравнения являются числа $x_0 = минус 34$ и $y_0 = минус 119.$ Поэтому общее решение есть:

$x = минус 34 плюс 13t,$

$y = минус 119 плюс 45t,$

где $t = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots .$

Приведем другое решение.

Сократим на 3, получим: $45x минус 13y = 17.$ Запишем полученное уравнение в виде

$13 левая круглая скобка 3x минус y правая круглая скобка плюс 6x =17$

и положим $z = 3x минус y.$ Тогда $13z плюс 6x = 17,$ откуда

$6 левая круглая скобка 2z плюс x правая круглая скобка плюс z = 17.$

Пусть $2z плюс x = w,$ тогда

$6w плюс z = 17,$

откуда, например, $w = 0,$ $z = 17$ (достаточно подобрать одно любое частное решение).

Обратно: уравнение $2z плюс x = w$ принимает вид $34 плюс x = 0,$ откуда $x = минус 34.$ Тогда уравнение $z = 3x минус y$ принимает вид $17 = 3 умножить на левая круглая скобка минус 34 правая круглая скобка минус y,$ откуда $y = минус 119.$ Таким образом, общее решение есть: