РЕШУ УРОК: задания, ответы, решения

Каталог заданий.
36. Неравенства

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 17 № 3087 Добавить в вариант

Тригонометрические уравнения, неравенства, системы.36. Неравенства (задания вступительных экзаменов)

Решите неравенство (задания вступительных экзаменов) $косинус 2x плюс 2 косинус 2x косинус x больше или равно 0.$

Решение.

1)  Решим уравнение, соответствующее неравенству, чтобы найти нули функции $y= косинус 2x плюс 2 косинус 2x косинус x больше или равно 0$ :

$косинус 2x плюс 2 косинус 2x косинус x = 0 равносильно косинус 2x левая круглая скобка 1 плюс 2 косинус 2x правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус 2x=0, косинус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений 2x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k,k принадлежит Z ,x= дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби , x= дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k,k принадлежит Z ,x= дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби , x= дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k. конец совокупности .$ $косинус 2x плюс 2 косинус 2x косинус x = 0 равносильно$
$равносильно косинус 2x левая круглая скобка 1 плюс 2 косинус 2x правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений косинус 2x=0, косинус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k,k принадлежит Z ,x= дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби , x= дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k,k принадлежит Z ,x= дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби , x= дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k. конец совокупности .$

2)  Нанесем нули функции на ригонометрическую окружность, увеличивая значения k, пока не доатигним периода.

Возьмем пробную точку $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$ Видно, что в этой точке функция принимает отрицательное значение. Далее, так как знаки чередуются, расставим их. Получаем:

$совокупность выражений x\geqslant минус дробь: числитель: Пи }4 плюс 2 Пи k,x меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x больше или равно дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x меньше или равно дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x больше или равно дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x меньше или равно дробь: числитель: {, знаменатель: 4 конец дроби Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k. конец совокупности .$

Ответ: $\bigcup\limits_k принадлежит Z левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи 4 плюс 2 Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k правая квадратная скобка , знаменатель: . конец дроби$

Аналоги к заданию № 3087: 3088 Все

РешениеСпрятать решение · Помощь

Тип 17 № 3088 Добавить в вариант

Тригонометрические уравнения, неравенства, системы.36. Неравенства (задания вступительных экзаменов)

Решите неравенство (задания вступительных экзаменов) $синус 2x минус 2 синус 2x синус x больше или равно 0.$

Решение.

Ответ: $\bigcup\limits_k принадлежит Z левая квадратная скобка 2 Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка Пи плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k правая квадратная скобка .$

Аналоги к заданию № 3087: 3088 Все

РешениеСпрятать решение · Помощь

Тип 17 № 3089 Добавить в вариант

Тригонометрические уравнения, неравенства, системы.36. Неравенства (задания вступительных экзаменов)

Решите неравенство (задания вступительных экзаменов) $синус x синус 2x минус косинус x косинус 2x больше синус 6x.$

Решение.

Имеем:

$синус x синус 2x минус косинус x косинус 2x больше синус 6x равносильно минус левая круглая скобка косинус x косинус 2x минус синус x синус 2x правая круглая скобка больше синус 6x равносильно$ $синус x синус 2x минус косинус x косинус 2x больше синус 6x равносильно$
$равносильно минус левая круглая скобка косинус x косинус 2x минус синус x синус 2x правая круглая скобка больше синус 6x равносильно$

$равносильно минус косинус 3x больше синус 6x равносильно 2 синус 3x косинус 3x плюс косинус 3x меньше 0 равносильно косинус 3x левая круглая скобка 2 синус 3x плюс 1 правая круглая скобка меньше 0.$ $равносильно минус косинус 3x больше синус 6x равносильно 2 синус 3x косинус 3x плюс косинус 3x меньше 0 равносильно$
$равносильно косинус 3x левая круглая скобка 2 синус 3x плюс 1 правая круглая скобка меньше 0.$

Решим уравнение $косинус 3x=0.$

$косинус 3x=0 равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби k,k принадлежит Z .$

Решим уравнение $2 синус 3x плюс 1=0.$

$2 синус 3x плюс 1=0 равносильно синус 3x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно совокупность выражений новая строка x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 18 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби n, новая строка x= дробь: числитель: 7, знаменатель: 18 конец дроби Пи плюс дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби n,k принадлежит Z . конец совокупности .$

Идея. Проще решить неравенство относительно $3x,$ а затем найти $x.$

$левая круглая скобка * правая круглая скобка совокупность выражений новая строка 3x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, новая строка 3x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, новая строка 3x= дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка 2 Пи k плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше 3x меньше дробь: числитель: 7, знаменатель: 6 конец дроби Пи плюс 2 Пи k, новая строка 2 Пи k плюс дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше 3x меньше дробь: числитель: 11, знаменатель: 6 конец дроби Пи плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно$

$совокупность выражений новая строка дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби Пи k плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: 11, знаменатель: 18 конец дроби Пи плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби Пи k, новая строка дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби Пи k плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: 7, знаменатель: 18 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби Пи k. конец совокупности .$

Ответ: $\bigcup\limits_k принадлежит Z левая круглая скобка дробь: числитель: Пи 6 плюс дробь: числитель: 2 Пи k}3; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 18 конец дроби плюс дробь: числитель: {, знаменатель: 2 конец дроби Пи k, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи k, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 18 конец дроби плюс дробь: числитель: {, знаменатель: 2 конец дроби Пи k, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .$

Аналоги к заданию № 3089: 3090 Все

РешениеСпрятать решение · Помощь

Тип 17 № 3090 Добавить в вариант

Тригонометрические уравнения, неравенства, системы.36. Неравенства (задания вступительных экзаменов)

Решите неравенство (задания вступительных экзаменов) $косинус x синус 2x плюс синус x косинус 2x меньше или равно синус 6x.$

Решение.

Ответ: $\bigcup\limits_k принадлежит Z левая квадратная скобка дробь: числитель: 2 Пи k, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 9 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи k, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи k, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 9 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи k, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка .$

Аналоги к заданию № 3089: 3090 Все

РешениеСпрятать решение · Помощь

Тип 17 № 3091 Добавить в вариант

Тригонометрические уравнения, неравенства, системы.36. Неравенства (задания вступительных экзаменов)

$синус x синус 3x больше или равно синус 5x синус 7x$

Решение.

Преобразуем произведение в сумму, затем разложим на множители, используя формулу разности косинусов:

$синус x умножить на синус 3x больше или равно синус 5x умножить на синус 7x равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка косинус 2x минус косинус 4x правая круглая скобка больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка косинус 2x минус косинус 12x правая круглая скобка равносильно$ $синус x умножить на синус 3x больше или равно синус 5x умножить на синус 7x равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка косинус 2x минус косинус 4x правая круглая скобка больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка косинус 2x минус косинус 12x правая круглая скобка равносильно$

$равносильно косинус 12x минус косинус 4x больше или равно 0 равносильно минус 2 синус дробь: числитель: 4x плюс 12x, знаменатель: 2 конец дроби умножить на синус дробь: числитель: 12x минус 4x, знаменатель: 2 конец дроби больше или равно 0 равносильно 2 синус 8x умножить на синус 4x меньше или равно 0 равносильно$ $равносильно косинус 12x минус косинус 4x больше или равно 0 равносильно$
$равносильно минус 2 синус дробь: числитель: 4x плюс 12x, знаменатель: 2 конец дроби умножить на синус дробь: числитель: 12x минус 4x, знаменатель: 2 конец дроби больше или равно 0 равносильно 2 синус 8x умножить на синус 4x меньше или равно 0 равносильно$ $равносильно косинус 12x минус косинус 4x больше или равно 0 равносильно$
$равносильно минус 2 синус дробь: числитель: 4x плюс 12x, знаменатель: 2 конец дроби умножить на синус дробь: числитель: 12x минус 4x, знаменатель: 2 конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно 2 синус 8x умножить на синус 4x меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно 4 синус 4x умножить на косинус 4x умножить на синус 4x меньше или равно 0 равносильно синус в квадрате 4x умножить на косинус 4x меньше или равно 0 равносильно левая круглая скобка 1 минус косинус в квадрате 4x правая круглая скобка косинус 4x меньше или равно 0.$ $равносильно 4 синус 4x умножить на косинус 4x умножить на синус 4x меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно синус в квадрате 4x умножить на косинус 4x меньше или равно 0 равносильно левая круглая скобка 1 минус косинус в квадрате 4x правая круглая скобка косинус 4x меньше или равно 0.$

Пусть $косинус 4x=t,$ тогда имеем:

$левая круглая скобка 1 минус t в квадрате правая круглая скобка умножить на t меньше или равно 0 равносильно t левая круглая скобка t в квадрате минус 1 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно t левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно совокупность выражений новая строка t больше или равно 1, новая строка минус 1 меньше или равно t меньше или равно 0. конец совокупности .$

Таким образом,

$совокупность выражений новая строка косинус 4x больше или равно 1, новая строка минус 1 меньше или равно косинус 4x меньше или равно 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка косинус 4x=1, новая строка минус 1 меньше или равно косинус 4x меньше или равно 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка 4x=2 Пи k, новая строка 2 Пи k минус Пи меньше или равно 4x меньше или равно 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби k, новая строка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби k минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби k,k принадлежит Z . конец совокупности .$ $совокупность выражений новая строка косинус 4x больше или равно 1, новая строка минус 1 меньше или равно косинус 4x меньше или равно 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка косинус 4x=1, новая строка минус 1 меньше или равно косинус 4x меньше или равно 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка 4x=2 Пи k, новая строка 2 Пи k минус Пи меньше или равно 4x меньше или равно 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби k, новая строка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби k минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби k,k принадлежит Z . конец совокупности .$ $совокупность выражений новая строка косинус 4x больше или равно 1, новая строка минус 1 меньше или равно косинус 4x меньше или равно 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка косинус 4x=1, новая строка минус 1 меньше или равно косинус 4x меньше или равно 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка 4x=2 Пи k, новая строка 2 Пи k минус Пи меньше или равно 4x меньше или равно 2 Пи k конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби k, новая строка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби k минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби k,k принадлежит Z . конец совокупности .$

Ответ: $\bigcup\limits_k принадлежит Z левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби правая фигурная скобка .$

Аналоги к заданию № 3091: 3092 Все

РешениеСпрятать решение · Помощь

Пройти тестирование по этим заданиям

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе