РЕШУ УРОК — алгебра

2. Простые числа

1.  Тип 26 № 6157 Добавить в вариант

Целые числа, делимость, уравнения в целых числах. 2. Простые числа

Найдите все такие простые числа p, что число $p в квадрате плюс 13$ также простое.

Решение. Если простое число p четное, то оно равно 2. При этом число $p в квадрате плюс 13$ равно 17  — простое. Если же число p нечетное, то число $p в квадрате плюс 13$ должно быть простым и четным. Но равенство $p в квадрате плюс 13 = 2$ невозможно.

Ответ: 2.

6157

2.  Тип 26 № 6158 Добавить в вариант

Целые числа, делимость, уравнения в целых числах. 2. Простые числа

Найдите все такие простые числа p, что числа $p плюс 10$ и $p плюс 20$ также простые.

Решение. При p  =  3 числа p + 10 и p + 20 также простые. Так как число p  — простое, то остаток от деления на 3 чисел p + 10 и p + 20 будет равен 1 или 2. Число 10 при делении на 3 дает остаток 1, а число 20  — остаток 2, следовательно, одно из чисел p + 10 и p + 20 будет делиться на 3, а значит, не будет являться простым числом. Получаем, что единственное простое число, удовлетворяющее условию  — 3.

Ответ: p  =  3.

6158

p  =  3.

3.  Тип 26 № 6159 Добавить в вариант

Целые числа, делимость, уравнения в целых числах. 2. Простые числа

Найдите все такие простые числа p, что числа $p плюс 100$ и $p плюс 230$ также простые.

Решение. Эти числа дают разные остатки при делении на 3. Следовательно, одно из них кратно трем. Поскольку числа простые, одно из них и есть 3. Ясно, что это наименьшее из данных чисел. Следовательно, p  =  3. Тогда два других числа равны 103 и 233, они простые.

Ответ: p  =  3.

6159

p  =  3.

4.  Тип 26 № 6160 Добавить в вариант

Целые числа, делимость, уравнения в целых числах. 2. Простые числа

Найдите все такие простые числа p, что числа $p плюс 2,$ $p плюс 6,$ $p плюс 8,$ $p плюс 12$ и $p плюс 14$ также простые.

Решение. Рассмотрим остатки от деления чисел p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12, p + 14 на 5:

p	p + 2	p + 6	p + 8	p + 12	p + 14
$5k \vdots 5$	$5k плюс 2$	$5k плюс 6$	$5k плюс 8$	$5k плюс 12$	$5k плюс 14$
$5k плюс 1$	$5k плюс 3$	$5k плюс 7$	$5k плюс 9$	$5k плюс 13$	$левая круглая скобка 5k плюс 15 правая круглая скобка \vdots 5$
$5k плюс 2$	$5k плюс 4$	$5k плюс 8$	$левая круглая скобка 5k плюс 10 правая круглая скобка \vdots 5$	$5k плюс 14$	$5k плюс 16$
$5k плюс 3$	$левая круглая скобка 5k плюс 5 правая круглая скобка \vdots 5$	$5k плюс 9$	$5k плюс 11$	$левая круглая скобка 5k плюс 15 правая круглая скобка \vdots 5$	$5k плюс 17$
$5k плюс 4$	$5k плюс 6$	$левая круглая скобка 5k плюс 10 правая круглая скобка \vdots 5$	$5k плюс 12$	$5k плюс 16$	$5k плюс 18$

Одно из чисел всегда будет кратно 5, а поскольку все числа простые, то одно из чисел равно 5, p  =  5, иначе p < 0, то есть не является простым числом.

Ответ: p  =  5.

6160

p  =  5.

5.  Тип 26 № 6161 Добавить в вариант

Целые числа, делимость, уравнения в целых числах. 2. Простые числа

Известно, что числа p, $p плюс 4$ и $p плюс 14$   — простые. Чему равно p?

Решение. Покажем, что одно из чисел p, $p плюс 4$ и $p плюс 14$ кратно трем (см. таблицу). Поскольку данные числа по условию простые, одно из них и равно трем.

Случаи $p плюс 4 = 3$ и $p плюс 14 = 3$ невозможны. Если же $p=3$ оставшиеся числа равны 7 и 13, то есть все три числа простые.

Ответ: $p=3.$

6161

$p=3.$

6.  Тип 26 № 6162 Добавить в вариант

Целые числа, делимость, уравнения в целых числах. 2. Простые числа

Известно, что числа p, $p плюс 10$ и $p плюс 14$   — простые. Чему равно p?

Решение. При p  =  3 числа p + 10 и p + 14 также простые. Так как число p  — простое, то остаток от деления на 3 чисел p + 10 и p + 14 будет равен 1 или 2. Число 10 при делении на 3 дает остаток 1, а число 14  — остаток 2, следовательно, одно из чисел p + 10 и p + 14 будет делиться на 3, а значит, не будет являться простым числом. Получаем, что единственное простое число, удовлетворяющее условию  — 3.

Ответ: p  =  3.

6162

p  =  3.

7.  Тип 26 № 6163 Добавить в вариант

Целые числа, делимость, уравнения в целых числах. 2. Простые числа

Известно, что числа p и $8p в квадрате плюс 1$   — простые. Чему равно p?

Решение. Если простое число p кратно трем, то оно равно 3. В этом случае число $8p в квадрате плюс 1$ равно 73  — простое. Если же число p не кратно трем, то его квадрат при делении на 3 дает в остатке 1, а значит, число $8p в квадрате плюс 1$ кратно трем. Но тогда $8p в квадрате плюс 1 = 3,$ что невозможно.

Ответ: p  =  3.

Приведем другое решение.

Либо $p=3k,$ а тогда p  =  3 и $8p в квадрате плюс 1 = 73.$ Либо число p можно представить в виде 3k ± 1, и потому $p в квадрате = 9k в квадрате \pm 6k плюс 1.$ В этом случае $8p в квадрате плюс 1 = 72k в квадрате \pm 48k плюс 9,$ что кратно 9. Но простое число не может быть кратно 9.

Ответ: p  =  3.

6163

p  =  3.

8.  Тип 26 № 6164 Добавить в вариант

Целые числа, делимость, уравнения в целых числах. 2. Простые числа

Известно, что числа p, $2p плюс 1$ и $4p плюс 1$   — простые. Чему равно p?

Решение. Рассмотрим остатки от деления чисел p, $2p плюс 1$ и $4p плюс 1$ на 3:

p	$2p плюс 1$	$4p плюс 1$
$3k \vdots 3$	$6k плюс 1$	$12k плюс 1$
$3k плюс 1$	$6k плюс 2$	$12k плюс 2$
$3k плюс 2$	$6k плюс 3 \vdots 3$	$12k плюс 3 \vdots 3$

Одно из чисел всегда будет кратно 3, а поскольку все числа простые, то одно из чисел равно 3, p  =  3, иначе p < 0, то есть не является простым числом.

Ответ: p  =  3.

6164

p  =  3.

9.  Тип 26 № 6165 Добавить в вариант

Целые числа, делимость, уравнения в целых числах. 2. Простые числа

Известно, что число p простое, а число $13p плюс 1$ является точным кубом. Чему равно p?

Решение. Положим $13p плюс 1 = n в кубе$ и запишем это равенство в виде

$13p = левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка n в квадрате плюс n плюс 1 правая круглая скобка .$

Левая часть является произведением двух простых чисел, поэтому множители в правой части могут быть только числами ±1, ±13, ±p или ±13p. Чтобы сократить перебор, сразу заметим, что неполный квадрат сумму принимает только положительные значения, а потому и первый множитель в правой части равенства положителен. Кроме того, второй множитель больше первого, а потому возможны лишь следующие варианты:

$система выражений n минус 1 = 1,n в квадрате плюс n плюс 1 = 13p, конец системы . или система выражений n минус 1 = 13,n в квадрате плюс n плюс 1 = p, конец системы . или система выражений n минус 1 = p,n в квадрате плюс n плюс 1 = 13. конец системы .$

Вторая и третья системы дают искомые простые числа: $p = 211$ и $p = 2$ соответственно.

Ответ: 2 и 211.

6165

2 и 211.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	6157	2.
2	6158	p  =  3.
3	6159	p  =  3.
4	6160	p  =  5.
5	6161	$p=3.$
6	6162	p  =  3.
7	6163	p  =  3.
8	6164	p  =  3.
9	6165	2 и 211.