РЕШУ УРОК — алгебра

4. Линейные диофантовы уравнения

1.  Тип 26 № 6151 Добавить в вариант

Целые числа, делимость, уравнения в целых числах. 4. Линейные диофантовы уравнения

Решите уравнение $12x плюс 28y = 202$ в целых числах.

Решение. При всех целых значениях переменной левая часть уравнения кратна 4, а правая  — нет. Поэтому уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: решений нет.

6151

решений нет.

2.  Тип 26 № 6152 Добавить в вариант

Целые числа, делимость, уравнения в целых числах. 4. Линейные диофантовы уравнения

Решите уравнение $3x плюс 7y = минус 5$ в целых числах.

Решение. Частное решение: $x_0 = минус 4,$ $y_0 = 1,$ поэтому общее решение: $x = минус 4 плюс 7t,$ $y = 1 минус 3t,$ где $t = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$

3.  Тип 26 № 6153 Добавить в вариант

Целые числа, делимость, уравнения в целых числах. 4. Линейные диофантовы уравнения

Решите уравнение $2x минус 5y = 15$ в целых числах.

Решение. Частное решение: $x_0 = 5,$ $y_0 = минус 1,$ поэтому общее решение: $x = 5 плюс 5t,$ $y = минус 1 плюс 2t,$ где $t = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots .$

4.  Тип 26 № 5293 Добавить в вариант

Целые числа, делимость, уравнения в целых числах. 4. Линейные диофантовы уравнения

Найдите все натуральные числа от 1 до 100, которые при делении на 13 дают в остатке 12, при делении на 5 дают в остатке 4.

Решение. Числа, которые при делении на 13 дают в остатке 12, имеют вид $13k плюс 12,$ а числа, которые при делении на 5 дают в остатке 4, имеют вид $5n плюс 4.$ Решим в целых числах уравнение $13k плюс 12 = 5n плюс 4.$ Его частное решение $k_0 = минус 16,$ $n = минус 40,$ поэтому общее решение $k= минус 16 минус 5m,$ $n= минус 40 минус 13m.$ Единственное значение m, при котором числа $13k плюс 12$ и $5n плюс 4$ принимают значение от 1 до 100,  — значение m  =  −4, искомое число  — 64.

Ответ: 64.

5293

64.

5.  Тип 26 № 7428 Добавить в вариант

Целые числа, делимость, уравнения в целых числах. 4. Линейные диофантовы уравнения

Решите уравнение $135x минус 39y = 51$ в целых числах.

Решение. Заметим, что обе части уравнения можно разделить на 3, получим уравнение:

$45x минус 13y = 17.$

Чтобы найти частное решение уравнения, будем искать наибольший общий делитель чисел 45 и 13 при помощи алгоритма Евклида (ясно, что этот делитель равен 1, нам нужно получить для него представление в виде $1 = 45p минус 13q$ ). Находим:

$45 = 3 умножить на \bold 13 плюс \bold 6,$

то есть

$6 = 45 минус 3 умножить на 13;$

$13 = 2 умножить на \bold 6 плюс \bold 1,$

то есть

$1 = 13 минус 2 умножить на 6.$

Таким образом,

$1 = 13 минус 2 умножить на 6 = 13 минус 2 умножить на левая круглая скобка 45 минус 3 умножить на 13 правая круглая скобка = 13 умножить на 7 минус 45 умножить на 2 = 45 умножить на левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка минус 13 умножить на левая круглая скобка минус 7 правая круглая скобка .$

Искомое представление найдено. Умножая обе части равенства на 17, окончательно получаем:

$45 умножить на левая круглая скобка минус 34 правая круглая скобка минус 13 умножить на левая круглая скобка минус 119 правая круглая скобка = 17 .$

Тем самым частным решением уравнения являются числа $x_0 = минус 34$ и $y_0 = минус 119.$ Поэтому общее решение есть:

$x = минус 34 плюс 13t,$

$y = минус 119 плюс 45t,$

где $t = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots .$

Приведем другое решение.

Сократим на 3, получим: $45x минус 13y = 17.$ Запишем полученное уравнение в виде

$13 левая круглая скобка 3x минус y правая круглая скобка плюс 6x =17$

и положим $z = 3x минус y.$ Тогда $13z плюс 6x = 17,$ откуда

$6 левая круглая скобка 2z плюс x правая круглая скобка плюс z = 17.$

Пусть $2z плюс x = w,$ тогда

$6w плюс z = 17,$

откуда, например, $w = 0,$ $z = 17$ (достаточно подобрать одно любое частное решение).

Обратно: уравнение $2z плюс x = w$ принимает вид $34 плюс x = 0,$ откуда $x = минус 34.$ Тогда уравнение $z = 3x минус y$ принимает вид $17 = 3 умножить на левая круглая скобка минус 34 правая круглая скобка минус y,$ откуда $y = минус 119.$ Таким образом, общее решение есть:

$x = минус 34 плюс 13t,$

$y = минус 119 плюс 45t,$

где $t = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots .$

6.  Тип 26 № 6184 Добавить в вариант

Целые числа, делимость, уравнения в целых числах. 4. Линейные диофантовы уравнения

Решите уравнение $599x минус 261y = 663$ в целых числах.

Решение.

7.  Тип 26 № 6155 Добавить в вариант

Целые числа, делимость, уравнения в целых числах. 4. Линейные диофантовы уравнения

Решите уравнение $1812x плюс 1941y = 666$ в целых числах.

Решение. Заметим, что обе части уравнения можно разделить на 3, получим уравнение:

$604x плюс 647y = 222.$

Чтобы найти частное решение уравнения, будем искать наибольший общий делитель чисел 604 и 647 при помощи алгоритма Евклида (ясно, что этот делитель равен 1, нам нужно получить для него представление в виде $1 = 604p плюс 647q$ ). Находим:

$647 = \bold 604 плюс \bold 43,$

то есть

$43 = 647 умножить на 1 минус 604;$

$604 = \bold 43 умножить на 14 плюс \bold 2,$

то есть

$2 = 604 минус 14 умножить на 43;$

$43 = \bold 2 умножить на 21 плюс \bold 1,$

то есть

$1 = 43 минус 21 умножить на 2.$

Таким образом,

$1 = 43 минус 21 умножить на 2 = 43 минус 21 умножить на левая круглая скобка 604 минус 14 умножить на 43 правая круглая скобка = 295 умножить на 43 минус 21 умножить на 604 =$
$= 295 умножить на левая круглая скобка 647 минус 604 правая круглая скобка минус 21 умножить на 604 = 295 умножить на 647 минус 316 умножить на 604.$

Следовательно,

$647 умножить на 295 минус 604 умножить на 316 = 1.$

Искомое представление найдено. Умножая обе части уравнения на 222, окончательно получаем:

$604 умножить на левая круглая скобка 316 умножить на 222 правая круглая скобка плюс 647 умножить на левая круглая скобка 295 умножить на 222 правая круглая скобка = 222,$

то есть

$604 умножить на 70 152 плюс 647 умножить на 65 490 = 222 .$

Тем самым частным решением уравнения являются числа $x_0 = 70 152$ и $y_0 = 65 490.$ Поэтому общее решение есть:

$x = минус 70 152 плюс 647t,$

$y = 65 490 минус 604t,$

где $t = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots .$

Ответ: $x = минус 70 152 плюс 647t,$ $y = 65 490 минус 604t,$ где $t = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots .$

6155

$x = минус 70 152 плюс 647t,$ $y = 65 490 минус 604t,$ где $t = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots .$

8.  Тип 26 № 6154 Добавить в вариант

Целые числа, делимость, уравнения в целых числах. 4. Линейные диофантовы уравнения

Найдите наибольшую трехзначную сумму целых решений уравнения $2x минус 5y = 15.$

9.  Тип 26 № 7433 Добавить в вариант

Целые числа, делимость, уравнения в целых числах. 4. Линейные диофантовы уравнения

(Социологический факультет МГУ.) В центре города фирма продавала чай по 7 рублей, а кофе по 10 рублей за стакан, а на вокзале  — по 4 рубля и 9 рублей за стакан соответственно. Всего было продано 20 стаканов чая и 20 стаканов кофе, при этом выручка в центре и на вокзале оказалась одинаковой. Сколько стаканов кофе было продано в центре?

Решение. Пусть n и m соответственно  — количество стаканов чая и кофе, проданных в центре города. Тогда количество стаканов чая и кофе, проданных на вокзале, равно $20 минус n$ и $20 минус m$ соответственно. По смыслу задачи переменные n и m - неотрицательные целые числа, не превосходящие 20.

Общая выручка в центре равна $7 n плюс 10 m$ рублей, а на вокзале равна $4 левая круглая скобка 20 минус n правая круглая скобка плюс 9 левая круглая скобка 20 минус m правая круглая скобка$ рублей. По условию эти величины равны:

$7 n плюс 10 m=4 левая круглая скобка 20 минус n правая круглая скобка плюс 9 левая круглая скобка 20 минус m правая круглая скобка равносильно 11 n плюс 19 m=260.$

Решая это уравнение при алгоритма Евклида, получаем: $n=15 плюс 19 k, m=5 минус 11 k,$ где $k принадлежит Z .$

Поскольку $n, m больше или равно 0,$ параметр k может быть равен только 0 . Поэтому найденное в начале решения частное решение будет единственным решением исходного уравнения в неотрицательных целых числах: $n=15,$ $m=5.$ Так как это решение удовлетворяет условию $n, m меньше или равно 20,$ значение $m=5$ является ответом к задаче.

Ответ: 5 стаканов.

7433

5 стаканов.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	6151	решений нет.
2	5293	64.
3	6155	$x = минус 70 152 плюс 647t,$ $y = 65 490 минус 604t,$ где $t = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots .$
5	7433	5 стаканов.