PDF-версии: 
Определите, при каких значениях параметра уравнение 
имеет ровно один корень.
Решение. Пусть 
тогда 
По теореме Виета сумма корней полученного уравнения равна 
а их произведение равно 
Следовательно, это числа 4 и 
Следовательно, исходное уравнение расщепляется на уравнения
и 
Уравнение имеет корень 
Чтобы исходное уравнение имело единственное решение, уравнение 
либо не должно иметь корней, либо должно иметь тот же корень Следовательно, либо 
либо 
Ответ: 
Приведем решение, не связанное с вычислением корней.
Пусть тогда Чтобы исходное уравнение имело ровно один корень, полученное уравнение должно иметь:
− единственный корень, который положителен (случай 1);
− два корня, один из которых положительный, а второй отрицательный (случай 2);
− два корня, один из которых положительный, а второй равен нулю (случай 3).
Случай 1. Дискриминант квадратного уравнения должен быть равен нулю:
Тогда 
что соответствует условию положительности корня.
Случай 2. Пусть 
тогда 
т. е. 
откуда 
Случай 3. Необходимо и достаточно выполнения системы 
откуда
Объединяя рассмотренные случаи, находим: 
и 
Ответ:
имеет ровно один корень.
имеет ровно один корень.
и 
совпадающих при 
и имеющих при этом решение. Кроме этого случая уравнение имеет единственное решение в случаях
Чтобы исходное уравнение имело ровно один корень, полученное уравнение должно иметь:
что соответствует условию положительности корня.
тогда 
откуда 
откуда 
и 
имеет ровно один корень.
имеет два различных решения.
и 
поэтому оно имеет два различных решения, если каждое из чисел b и 
положительно, а сами числа различны. Следовательно, 
и 
то есть 
Чтобы исходное уравнение имело единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы уравнение 
имело два различных положительных корня, что обеспечивается системой условий
имеет два различных решения.
не имеет решений.
Уравнение примет вид:
дает ровно одно значение x. Первый корень положителен при 
второй при 
Значит, при любом a полученная совокупность имеет положительный корень, который даст при логарифмировании корень исходного уравнения.
не имеет решений.
не имеет решений.
тогда 
поэтому исходное уравнение не имеет решений, если полученное квадратное уравнение либо не имеет решений (1), либо имеет единственное неположительное решение (2), либо имеет два неположительных решения (3).
откуда 
не имеет решений.
не имеет решений.
тогда 
полученное уравнение принимает линейный вид 
и имеет корень 
Возвращаясь к исходной переменной, получаем уравнение 
которое не имеет решений.
то уравнение является квадратным. Чтобы исходное уравнение не имело корней, это квадратное уравнение должно:
откуда находим:
откуда 
и 
не имеет решений.