РЕШУ УРОК: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 24 № 3678 Добавить в вариант

Комбинированные задания для подготовки к экзаменам.7. Решите уравнение или неравенство

Решите уравнение или неравенство $\log _2 левая круглая скобка 5 косинус 2x минус 2 правая круглая скобка плюс \log _\tfrac12 левая круглая скобка 1 минус 6 синус в квадрате x косинус в квадрате x правая круглая скобка =3.$

Решение.

Перейдем к основанию 2, используем формулу синуса двойного угла и основное тригонометрическое тождество. Получаем:

$логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 5 косинус 2x минус 2 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 минус 6 синус в квадрате x косинус в квадрате x правая круглая скобка = логарифм по основанию 2 8 равносильно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 5 косинус 2x минус 2 правая круглая скобка = логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 8 минус 48 синус в квадрате x косинус в квадрате x правая круглая скобка равносильно$
$равносильно система выражений 5 косинус 2x минус 2 больше 0,5 косинус 2x минус 2=8 минус 12 синус в квадрате 2x конец системы . равносильно система выражений косинус 2x больше дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби ,5 косинус 2x=10 минус 12 левая круглая скобка 1 минус косинус в квадрате 2x правая круглая скобка . конец системы .$ $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 5 косинус 2x минус 2 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 минус 6 синус в квадрате x косинус в квадрате x правая круглая скобка = логарифм по основанию 2 8 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 5 косинус 2x минус 2 правая круглая скобка = логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 8 минус 48 синус в квадрате x косинус в квадрате x правая круглая скобка равносильно$
$равносильно система выражений 5 косинус 2x минус 2 больше 0,5 косинус 2x минус 2=8 минус 12 синус в квадрате 2x конец системы . равносильно система выражений косинус 2x больше дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби ,5 косинус 2x=10 минус 12 левая круглая скобка 1 минус косинус в квадрате 2x правая круглая скобка . конец системы .$ $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 5 косинус 2x минус 2 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 минус 6 синус в квадрате x косинус в квадрате x правая круглая скобка = логарифм по основанию 2 8 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 5 косинус 2x минус 2 правая круглая скобка = логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 8 минус 48 синус в квадрате x косинус в квадрате x правая круглая скобка равносильно$
$равносильно система выражений 5 косинус 2x минус 2 больше 0,5 косинус 2x минус 2=8 минус 12 синус в квадрате 2x конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений косинус 2x больше дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби ,5 косинус 2x=10 минус 12 левая круглая скобка 1 минус косинус в квадрате 2x правая круглая скобка . конец системы .$

Пусть $t= косинус 2x,$ решим систему:

$система выражений дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби меньше t меньше или равно 1,5t=12t в квадрате минус 2 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби меньше t меньше или равно 1,12t в квадрате минус 5t минус 2=0 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби меньше t меньше или равно 1, совокупность выражений t= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ,t= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби конец системы . конец совокупности . равносильно t= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .$

Вернемся к исходной переменной:

$косинус 2x= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби равносильно совокупность выражений 2x= арккосинус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,2x= минус арккосинус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби арккосинус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k,x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби арккосинус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $косинус 2x= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби равносильно совокупность выражений 2x= арккосинус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,2x= минус арккосинус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби арккосинус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k,x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби арккосинус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

Ответ: $левая фигурная скобка \pm дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби арккосинус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка .$

Аналоги к заданию № 3678: 3679 Все

РешениеСпрятать решение · Помощь

Тип 24 № 3679 Добавить в вариант

Комбинированные задания для подготовки к экзаменам.7. Решите уравнение или неравенство

Решите уравнение или неравенство $\log _2 левая круглая скобка 6 косинус в квадрате x минус 2 синус в квадрате x правая круглая скобка =3 минус \log _ дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 1 минус 3 синус в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка x правая круглая скобка .$

Решение.

Решим уравнение:

$\log _2 левая круглая скобка 6 косинус в квадрате x минус 2 синус в квадрате x правая круглая скобка =3 минус \log _ дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 1 минус 3 синус в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка x правая круглая скобка равносильно$

$равносильно \log _2 левая круглая скобка 6 косинус в квадрате x минус 2 синус в квадрате x правая круглая скобка = логарифм по основанию 2 8 плюс \log _2 левая круглая скобка 1 минус 3 синус в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка x правая круглая скобка \Rightarrow$

$\Rightarrow 6 косинус в квадрате x минус 2 синус в квадрате x = 8 левая круглая скобка 1 минус 3 синус в степени 4 x правая круглая скобка равносильно 12 синус в степени 4 x минус 4 синус в квадрате x минус 1 =0 равносильно$

$равносильно совокупность выражений синус в квадрате x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус в квадрате x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби минус н. р. конец совокупности . равносильно совокупность выражений синус x = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , синус x = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k,x = \pm дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z . конец совокупности .$ $равносильно совокупность выражений синус в квадрате x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус в квадрате x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби минус н. р. конец совокупности . равносильно совокупность выражений синус x = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , синус x = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x = \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k,x = \pm дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z . конец совокупности .$

Заметим, что мы перешли к следствию, и полученные значения необходимо проверить с помощью следующего условия:

$синус в степени 4 x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$

После проверки получаем, что все значения подходят. Приходим к ответу:

$x = \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z .$

Ответ: $левая фигурная скобка \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка .$

Аналоги к заданию № 3678: 3679 Все

РешениеСпрятать решение · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе