Числовая геометрическая прогрессия состоит из четырех членов. После умножения ее третьего члена на некоторое отличное от единицы число она превратилась в арифметическую прогрессию. Найти это число.
Решение.
Обозначим члены изначальной прогрессии за a, aq, aq2, aq3, а неизвестное число за x, тогда по условию числа a, aq, aq2x, aq3 образуют арифметическую прогрессию. Если число x можно взять любым. В остальных случаях, разделим все члены арифметической прогрессии на a, она по-прежнему останется арифметической прогрессией.
Итак, числа 1, q, xq2 , q3 — арифметическая прогрессия. Очевидно, ее разность равна q – 1 и потому Решим это уравнение:
Значит, либо тогда разность прогрессии равна 0 и
что запрещено по условию, либо и
Примером подходящей прогрессии могут служить числа 1, −2, 4, −8, которые превращаются в 1, −2, −5, −8.
Числовая арифметическая прогрессия состоит из четырех членов. Умножив ее второй член на некоторое отличное от единицы число, мы получили геометрическую прогрессию. Найти ее знаменатель.
число x можно взять любым. В остальных случаях, разделим все члены арифметической прогрессии на a, она по-прежнему останется арифметической прогрессией.
Решим это уравнение:
тогда разность прогрессии равна 0 и
и
— арифметическая прогрессия.
— геометрическая прогрессия, где 
так как это член геометрической прогрессии, следовательно, на него можно разделить:
числа 
