РЕШУ УРОК: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 14 № 2282 Добавить в вариант

Логарифмические уравнения, неравенства, системы.44. Неравенства (задания вступительных экзаменов)

Решите неравенство (задания вступительных экзаменов) $\log _9x3x плюс \log _3x в квадрате 9x в квадрате меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби .$

Решение.

Преобразуем неравенство и введём замену:

$дробь: числитель: логарифм по основанию 3 3x, знаменатель: логарифм по основанию 3 9x конец дроби плюс дробь: числитель: логарифм по основанию 3 9x в квадрате , знаменатель: логарифм по основанию 3 3x в квадрате конец дроби меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 3 3 плюс логарифм по основанию 3 x, знаменатель: логарифм по основанию 3 9 плюс логарифм по основанию 3 x конец дроби плюс дробь: числитель: логарифм по основанию 3 9 плюс логарифм по основанию 3 x в квадрате , знаменатель: логарифм по основанию 3 3 плюс логарифм по основанию 3 x в квадрате конец дроби меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби равносильно дробь: числитель: 1 плюс логарифм по основанию 3 x, знаменатель: 2 плюс логарифм по основанию 3 x конец дроби плюс дробь: числитель: 2 плюс 2 логарифм по основанию 3 x, знаменатель: 1 плюс 2 логарифм по основанию 3 x конец дроби меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби .$ $дробь: числитель: логарифм по основанию 3 3x, знаменатель: логарифм по основанию 3 9x конец дроби плюс дробь: числитель: логарифм по основанию 3 9x в квадрате , знаменатель: логарифм по основанию 3 3x в квадрате конец дроби меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 3 3 плюс логарифм по основанию 3 x, знаменатель: логарифм по основанию 3 9 плюс логарифм по основанию 3 x конец дроби плюс дробь: числитель: логарифм по основанию 3 9 плюс логарифм по основанию 3 x в квадрате , знаменатель: логарифм по основанию 3 3 плюс логарифм по основанию 3 x в квадрате конец дроби меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1 плюс логарифм по основанию 3 x, знаменатель: 2 плюс логарифм по основанию 3 x конец дроби плюс дробь: числитель: 2 плюс 2 логарифм по основанию 3 x, знаменатель: 1 плюс 2 логарифм по основанию 3 x конец дроби меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби .$ $дробь: числитель: логарифм по основанию 3 3x, знаменатель: логарифм по основанию 3 9x конец дроби плюс дробь: числитель: логарифм по основанию 3 9x в квадрате , знаменатель: логарифм по основанию 3 3x в квадрате конец дроби меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 3 3 плюс логарифм по основанию 3 x, знаменатель: логарифм по основанию 3 9 плюс логарифм по основанию 3 x конец дроби плюс дробь: числитель: логарифм по основанию 3 9 плюс логарифм по основанию 3 x в квадрате , знаменатель: логарифм по основанию 3 3 плюс логарифм по основанию 3 x в квадрате конец дроби меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1 плюс логарифм по основанию 3 x, знаменатель: 2 плюс логарифм по основанию 3 x конец дроби плюс дробь: числитель: 2 плюс 2 логарифм по основанию 3 x, знаменатель: 1 плюс 2 логарифм по основанию 3 x конец дроби меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби .$

Пусть $логарифм по основанию 3 x=t,$ тогда

$дробь: числитель: 1 плюс t, знаменатель: 2 плюс t конец дроби плюс дробь: числитель: 2 плюс 2t, знаменатель: 1 плюс 2t конец дроби меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби равносильно 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 плюс t конец дроби плюс 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс 2t конец дроби меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби равносильно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 плюс t конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс 2t конец дроби меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 2 плюс t конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 1 плюс 2t конец дроби минус 1 меньше 0 равносильно дробь: числитель: минус 2 левая круглая скобка 1 плюс 2t правая круглая скобка плюс 2 левая круглая скобка 2 плюс t правая круглая скобка минус левая круглая скобка 1 плюс 2t правая круглая скобка левая круглая скобка 2 плюс t правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 2 плюс t правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 2t правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: минус 2 минус 4t плюс 4 плюс 2t минус 2 минус 4t минус t минус 2t в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка 2 плюс t правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 2t правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: минус 7t минус 2t в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка 2 плюс t правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 2t правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 7 плюс 2t правая круглая скобка t, знаменатель: левая круглая скобка 2 плюс t правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 2t правая круглая скобка конец дроби больше 0 равносильно совокупность выражений t меньше минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби , минус 2 меньше t меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , t больше 0. конец совокупности .$ $дробь: числитель: 1 плюс t, знаменатель: 2 плюс t конец дроби плюс дробь: числитель: 2 плюс 2t, знаменатель: 1 плюс 2t конец дроби меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби равносильно 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 плюс t конец дроби плюс 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс 2t конец дроби меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 плюс t конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс 2t конец дроби меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 2 плюс t конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 1 плюс 2t конец дроби минус 1 меньше 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: минус 2 левая круглая скобка 1 плюс 2t правая круглая скобка плюс 2 левая круглая скобка 2 плюс t правая круглая скобка минус левая круглая скобка 1 плюс 2t правая круглая скобка левая круглая скобка 2 плюс t правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 2 плюс t правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 2t правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: минус 2 минус 4t плюс 4 плюс 2t минус 2 минус 4t минус t минус 2t в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка 2 плюс t правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 2t правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно дробь: числитель: минус 7t минус 2t в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка 2 плюс t правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 2t правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 7 плюс 2t правая круглая скобка t, знаменатель: левая круглая скобка 2 плюс t правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 2t правая круглая скобка конец дроби больше 0 равносильно совокупность выражений t меньше минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби , минус 2 меньше t меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , t больше 0. конец совокупности .$ $дробь: числитель: 1 плюс t, знаменатель: 2 плюс t конец дроби плюс дробь: числитель: 2 плюс 2t, знаменатель: 1 плюс 2t конец дроби меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби равносильно 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 плюс t конец дроби плюс 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс 2t конец дроби меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 плюс t конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс 2t конец дроби меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 2 плюс t конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 1 плюс 2t конец дроби минус 1 меньше 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: минус 2 левая круглая скобка 1 плюс 2t правая круглая скобка плюс 2 левая круглая скобка 2 плюс t правая круглая скобка минус левая круглая скобка 1 плюс 2t правая круглая скобка левая круглая скобка 2 плюс t правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 2 плюс t правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 2t правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: минус 2 минус 4t плюс 4 плюс 2t минус 2 минус 4t минус t минус 2t в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка 2 плюс t правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 2t правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: минус 7t минус 2t в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка 2 плюс t правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 2t правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 7 плюс 2t правая круглая скобка t, знаменатель: левая круглая скобка 2 плюс t правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 2t правая круглая скобка конец дроби больше 0 равносильно совокупность выражений t меньше минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби , минус 2 меньше t меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , t больше 0. конец совокупности .$ $дробь: числитель: 1 плюс t, знаменатель: 2 плюс t конец дроби плюс дробь: числитель: 2 плюс 2t, знаменатель: 1 плюс 2t конец дроби меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби равносильно 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 плюс t конец дроби плюс 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс 2t конец дроби меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 плюс t конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс 2t конец дроби меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 2 плюс t конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 1 плюс 2t конец дроби минус 1 меньше 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: минус 2 левая круглая скобка 1 плюс 2t правая круглая скобка плюс 2 левая круглая скобка 2 плюс t правая круглая скобка минус левая круглая скобка 1 плюс 2t правая круглая скобка левая круглая скобка 2 плюс t правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 2 плюс t правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 2t правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: минус 2 минус 4t плюс 4 плюс 2t минус 2 минус 4t минус t минус 2t в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка 2 плюс t правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 2t правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: минус 7t минус 2t в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка 2 плюс t правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 2t правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 7 плюс 2t правая круглая скобка t, знаменатель: левая круглая скобка 2 плюс t правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 2t правая круглая скобка конец дроби больше 0 равносильно совокупность выражений t меньше минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби , минус 2 меньше t меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , t больше 0. конец совокупности .$

Вернёмся к исходной переменной:

$совокупность выражений логарифм по основанию 3 x меньше минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби , минус 2 меньше логарифм по основанию 3 x меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , логарифм по основанию 3 x больше 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 0 меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 27 корень из 3 конец дроби , дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби корень из 3 , x больше 1. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 27 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Аналоги к заданию № 2282: 2283 Все

РешениеСпрятать решение · Помощь

Тип 14 № 2283 Добавить в вариант

Логарифмические уравнения, неравенства, системы.44. Неравенства (задания вступительных экзаменов)

Решите неравенство (задания вступительных экзаменов) $\log _4x2x минус \log _2x в квадрате 4x в квадрате меньше или равно минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .$

Решение.

Напомним, что $логарифм по основанию левая круглая скобка x правая круглая скобка y= дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка y конец дроби ,$ разумеется, на ОДЗ. Зная это, решим неравенство:

$логарифм по основанию левая круглая скобка 4x правая круглая скобка 2x минус логарифм по основанию левая круглая скобка 2x в квадрате правая круглая скобка 4x в квадрате \leqslant минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 2x правая круглая скобка 2 конец дроби минус левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 2x в квадрате правая круглая скобка 2 плюс 1 правая круглая скобка \leqslant минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x конец дроби конец дроби минус левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x плюс 1 конец дроби плюс 1 правая круглая скобка \leqslant минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 4x правая круглая скобка 2x минус логарифм по основанию левая круглая скобка 2x в квадрате правая круглая скобка 4x в квадрате \leqslant минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 2x правая круглая скобка 2 конец дроби минус левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 2x в квадрате правая круглая скобка 2 плюс 1 правая круглая скобка \leqslant минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x конец дроби конец дроби минус левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x плюс 1 конец дроби плюс 1 правая круглая скобка \leqslant минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .$

Введем замену: пусть $t= логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x.$ Тогда:

$дробь: числитель: 1, знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: t плюс 1 конец дроби плюс 1 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2t плюс 1 конец дроби минус 1\geqslant минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби равносильно дробь: числитель: 3t левая круглая скобка 2t плюс 3 правая круглая скобка правая круглая скобка , знаменатель: 2 левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2t плюс 1 правая круглая скобка конец дроби \leqslant0 равносильно совокупность выражений t\leqslant0,t больше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,t\leqslant минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ,t больше минус 2. конец совокупности .$

Вернемся к исходной переменной, не забыв про ОДЗ. Получаем:

$система выражений совокупность выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x\leqslant0, логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x больше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x\leqslant минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x больше минус 2 конец системы . ,x больше 0,x не равно \pm дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,x не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ,x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби ,x больше дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби ,x\leqslant1. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби ;1 правая квадратная скобка .$

Аналоги к заданию № 2282: 2283 Все

РешениеСпрятать решение · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе