РЕШУ УРОК: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 14 № 2278 Добавить в вариант

Логарифмические уравнения, неравенства, системы.44. Неравенства (задания вступительных экзаменов)

Решите неравенство (задания вступительных экзаменов) $дробь: числитель: 1, знаменатель: \log _\tfracx327x конец дроби меньше \log _x9x.$

Решение.

Преобразуем неравенство и введём замену:

$дробь: числитель: 1, знаменатель: дробь: числитель: логарифм по основанию 3 27x, знаменатель: логарифм по основанию 3 \tfracx3 конец дроби конец дроби меньше дробь: числитель: логарифм по основанию 3 9x, знаменатель: логарифм по основанию 3 x конец дроби равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 3 дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби , знаменатель: логарифм по основанию 3 27x конец дроби меньше дробь: числитель: логарифм по основанию 3 9x, знаменатель: логарифм по основанию 3 x конец дроби ,$

при условии $логарифм по основанию 3 дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби не равно 0,$ то есть $x не равно 3:$

$дробь: числитель: логарифм по основанию 3 x минус логарифм по основанию 3 3, знаменатель: логарифм по основанию 3 27 плюс логарифм по основанию 3 x конец дроби меньше дробь: числитель: логарифм по основанию 3 9 плюс логарифм по основанию 3 x, знаменатель: логарифм по основанию 3 x конец дроби равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 3 x минус 1, знаменатель: 3 плюс логарифм по основанию 3 x конец дроби меньше дробь: числитель: 2 плюс логарифм по основанию 3 x, знаменатель: логарифм по основанию 3 x конец дроби .$

Пусть $логарифм по основанию 3 x=t,$ тогда

$дробь: числитель: t минус 1, знаменатель: 3 плюс t конец дроби меньше дробь: числитель: 2 плюс t, знаменатель: t конец дроби равносильно дробь: числитель: t минус 1, знаменатель: 3 плюс t конец дроби минус дробь: числитель: 2 плюс t, знаменатель: t конец дроби меньше 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка t минус левая круглая скобка 2 плюс t правая круглая скобка левая круглая скобка 3 плюс t правая круглая скобка , знаменатель: t левая круглая скобка 3 плюс t правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус t минус 6 минус 3t минус 2t минус t в квадрате , знаменатель: t левая круглая скобка 3 плюс t правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно дробь: числитель: минус 6 минус 6t, знаменатель: t левая круглая скобка 3 плюс t правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно дробь: числитель: 6 левая круглая скобка 1 плюс t правая круглая скобка , знаменатель: t левая круглая скобка 3 плюс t правая круглая скобка конец дроби больше 0 равносильно совокупность выражений минус 3 меньше t меньше минус 1,t больше 0. конец совокупности .$ $дробь: числитель: t минус 1, знаменатель: 3 плюс t конец дроби меньше дробь: числитель: 2 плюс t, знаменатель: t конец дроби равносильно дробь: числитель: t минус 1, знаменатель: 3 плюс t конец дроби минус дробь: числитель: 2 плюс t, знаменатель: t конец дроби меньше 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка t минус левая круглая скобка 2 плюс t правая круглая скобка левая круглая скобка 3 плюс t правая круглая скобка , знаменатель: t левая круглая скобка 3 плюс t правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус t минус 6 минус 3t минус 2t минус t в квадрате , знаменатель: t левая круглая скобка 3 плюс t правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: минус 6 минус 6t, знаменатель: t левая круглая скобка 3 плюс t правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно дробь: числитель: 6 левая круглая скобка 1 плюс t правая круглая скобка , знаменатель: t левая круглая скобка 3 плюс t правая круглая скобка конец дроби больше 0 равносильно совокупность выражений минус 3 меньше t меньше минус 1,t больше 0. конец совокупности .$ $дробь: числитель: t минус 1, знаменатель: 3 плюс t конец дроби меньше дробь: числитель: 2 плюс t, знаменатель: t конец дроби равносильно дробь: числитель: t минус 1, знаменатель: 3 плюс t конец дроби минус дробь: числитель: 2 плюс t, знаменатель: t конец дроби меньше 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка t минус левая круглая скобка 2 плюс t правая круглая скобка левая круглая скобка 3 плюс t правая круглая скобка , знаменатель: t левая круглая скобка 3 плюс t правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус t минус 6 минус 3t минус 2t минус t в квадрате , знаменатель: t левая круглая скобка 3 плюс t правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно дробь: числитель: минус 6 минус 6t, знаменатель: t левая круглая скобка 3 плюс t правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 6 левая круглая скобка 1 плюс t правая круглая скобка , знаменатель: t левая круглая скобка 3 плюс t правая круглая скобка конец дроби больше 0 равносильно совокупность выражений минус 3 меньше t меньше минус 1,t больше 0. конец совокупности .$

Вернёмся к исходной переменной:

$система выражений совокупность выражений минус 3 меньше логарифм по основанию 3 x меньше минус 1, логарифм по основанию 3 x больше 0, конец системы .,x не равно 3 конец совокупности . равносильно совокупность выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: 27 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ,1 меньше x меньше 3, x больше 3. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 27 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Аналоги к заданию № 2278: 2279 Все

РешениеСпрятать решение · Помощь

Тип 14 № 2279 Добавить в вариант

Логарифмические уравнения, неравенства, системы.44. Неравенства (задания вступительных экзаменов)

Решите неравенство (задания вступительных экзаменов) $дробь: числитель: 1, знаменатель: \log _2x8x конец дроби меньше или равно \log _x16x.$

Решение.

Напомним, что $логарифм по основанию левая круглая скобка x правая круглая скобка y= дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка y правая круглая скобка x конец дроби ,$ разумеется, на ОДЗ. Зная это, решим неравенство:

$дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2x правая круглая скобка 8x конец дроби меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка x правая круглая скобка 16x равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2x правая круглая скобка 2x плюс 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 2x правая круглая скобка 2 конец дроби \leqslant1 плюс 4 логарифм по основанию левая круглая скобка x правая круглая скобка 2 равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс 2 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x плюс 1 конец дроби правая круглая скобка конец дроби \leqslant1 плюс 4 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x конец дроби правая круглая скобка$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2x правая круглая скобка 8x конец дроби меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка x правая круглая скобка 16x равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2x правая круглая скобка 2x плюс 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 2x правая круглая скобка 2 конец дроби \leqslant1 плюс 4 логарифм по основанию левая круглая скобка x правая круглая скобка 2 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс 2 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x плюс 1 конец дроби правая круглая скобка конец дроби \leqslant1 плюс 4 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x конец дроби правая круглая скобка$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2x правая круглая скобка 8x конец дроби меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка x правая круглая скобка 16x равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2x правая круглая скобка 2x плюс 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 2x правая круглая скобка 2 конец дроби \leqslant1 плюс 4 логарифм по основанию левая круглая скобка x правая круглая скобка 2 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс 2 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x плюс 1 конец дроби правая круглая скобка конец дроби \leqslant1 плюс 4 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x конец дроби правая круглая скобка$

Пусть $логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x=t,$ тогда:

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 1 плюс t конец дроби правая круглая скобка конец дроби \leqslant1 плюс дробь: числитель: 4, знаменатель: t конец дроби равносильно дробь: числитель: минус 2t минус 2, знаменатель: t левая круглая скобка 3 плюс t правая круглая скобка конец дроби \leqslant0 равносильно совокупность выражений t больше 0,t\leqslant минус 2, t\geqslant минус 3. конец совокупности .$

Вернемся к исходной переменной:

$система выражений совокупность выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x\geqslant0, логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x\leqslant минус 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x больше минус 3, конец системы . ,x больше 0,x не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,x не равно 1 конец совокупности . равносильно система выражений x больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби ,x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ,x больше 1. конец системы .$

Ответ: $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Аналоги к заданию № 2278: 2279 Все

РешениеСпрятать решение · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе