Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 24 № 4809
i

Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств  си­сте­ма вы­ра­же­ний  новая стро­ка \log _x левая круг­лая скоб­ка x в кубе минус 8 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно \log _x левая круг­лая скоб­ка x в кубе плюс 2x минус 13 пра­вая круг­лая скоб­ка ,  новая стро­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 умно­жить на 9 конец ар­гу­мен­та в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 7 умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 10 боль­ше или равно 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 10. конец си­сте­мы ..

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Решим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

\log _x левая круг­лая скоб­ка x в кубе минус 8 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно \log _x левая круг­лая скоб­ка x в кубе плюс 2x минус 13 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний  новая стро­ка x в кубе минус 8 мень­ше или равно x в кубе плюс 2x минус 13,  новая стро­ка x боль­ше 2 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний  новая стро­ка 2x боль­ше или равно 5,  новая стро­ка x боль­ше 2 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но x боль­ше или равно 2,5.

Мно­же­ство ре­ше­ний пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы:  левая квад­рат­ная скоб­ка 2,5; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Решим те­перь вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы. Пусть 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =t,t боль­ше 0 тогда дан­ное не­ра­вен­ство при­ни­ма­ет вид:  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2t в квад­ра­те минус 21t плюс 10 конец ар­гу­мен­та боль­ше или равно t минус 10.

Найдём об­ласть опре­де­ле­ния этого не­ра­вен­ства:

2t в квад­ра­те минус 21t плюс 10 боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний  новая стро­ка t мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,  новая стро­ка t боль­ше или равно 10.  конец со­во­куп­но­сти .

При t мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая часть не­ра­вен­ства не­от­ри­ца­тель­на, а пра­вая от­ри­ца­тель­на, сле­до­ва­тель­но, не­ра­вен­ство вы­пол­ня­ет­ся при всех t мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Далее имеем:

 си­сте­ма вы­ра­же­ний  новая стро­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2t конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те минус 21t плюс 10 боль­ше или равно t минус 10,  новая стро­ка t боль­ше или равно 10 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний  новая стро­ка левая круг­лая скоб­ка t минус 10 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно левая круг­лая скоб­ка t минус 10 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те ,  новая стро­ка t боль­ше или равно 10 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний  новая стро­ка левая круг­лая скоб­ка t минус 10 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка t плюс 9 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0,  новая стро­ка t боль­ше или равно 10 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но t боль­ше или равно 10.

Воз­вра­ща­ясь к пе­ре­мен­ной x по­лу­ча­ем:

 со­во­куп­ность вы­ра­же­ний  новая стро­ка 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка ,  новая стро­ка 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 10 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний  новая стро­ка x мень­ше или равно минус \log _32,  новая стро­ка x боль­ше или равно \log _310. конец со­во­куп­но­сти .

Таким об­ра­зом, мно­же­ство ре­ше­ний вто­ро­го не­ра­вен­ства:  левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 10; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

При­ни­мая во вни­ма­ние, что 2,5= ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2,5 пра­вая круг­лая скоб­ка = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 9 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 9 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та боль­ше ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 10, на­хо­дим ре­ше­ние ис­ход­ной си­сте­мы не­ра­венств: x\geqslant2,5.

 

Ответ:  левая квад­рат­ная скоб­ка 2,5; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .


Аналоги к заданию № 4808: 4809 Все