Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 21 № 3540
i

Ре­ши­те си­сте­му урав­не­ний, ис­поль­зуя клас­си­че­ские не­ра­вен­ства  си­сте­ма вы­ра­же­ний  новая стро­ка синус x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби синус x = синус в квад­ра­те y минус 2,  новая стро­ка ко­си­нус y плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби ко­си­нус y = ко­си­нус в квад­ра­те x плюс 2. конец си­сте­мы .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

В силу огра­ни­чен­но­сти си­ну­са и ко­си­ну­са, пра­вая часть пер­во­го урав­не­ния си­сте­мы от­ри­ца­тель­на, а вто­ро­го  — по­ло­жи­тель­на. Левые части урав­не­ний на мно­же­стве ре­ше­ний имеют знак пра­вых ча­стей. Сле­до­ва­тель­но,  синус x мень­ше 0,  ко­си­нус y боль­ше 0.

По­сколь­ку \left|a плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: a конец дроби | боль­ше или равно 2 для всех a не равно 0, за­клю­ча­ем, что с уче­том знака си­ну­са

 синус x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: синус x конец дроби мень­ше или равно минус 2.

Но  синус в квад­ра­те x минус 2 боль­ше или равно минус 2, по­это­му ра­вен­ство воз­мож­но, толь­ко если од­но­вре­мен­но  синус x= минус 1 и  синус y=0. По­лу­ча­ем:

 си­сте­ма вы­ра­же­ний синус x= минус 1, синус y=0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k,y=2 Пи l, конец си­сте­мы . k, l при­над­ле­жит Z .

Оста­лось про­ве­рить най­ден­ные зна­че­ния под­ста­нов­кой. Возь­мем x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , y=2 Пи :

 си­сте­ма вы­ра­же­ний синус левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: синус левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = синус в квад­ра­те 2 Пи минус 2, ко­си­нус 2 Пи плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­си­нус 2 Пи конец дроби = ко­си­нус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний минус 1 минус 1=0 минус 2,1 плюс 1=0 плюс 2. конец си­сте­мы .

По­лу­че­ны вер­ные ра­вен­ства, зна­чит, най­ден­ные зна­че­ния яв­ля­ют­ся ре­ше­ни­ем.

 

Ответ:  левая фи­гур­ная скоб­ка левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k,2 Пи l пра­вая круг­лая скоб­ка : k, l при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .


Аналоги к заданию № 3540: 3541 Все