Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 11 № 1304
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство вы­не­се­ни­ем мно­жи­те­ля из-под знака ра­ди­ка­ла  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те минус 4x мень­ше ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те минус 16 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те минус 2x минус 8 .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Най­дем сразу ОДЗ не­ра­вен­ства:

 си­сте­ма вы­ра­же­ний x в квад­ра­те минус 4x боль­ше или равно 0,x в квад­ра­те минус 16 боль­ше или равно 0, боль­ше x в квад­ра­те минус 2x минус 8 боль­ше или равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0, левая круг­лая скоб­ка x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0, левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше или равно 0,x боль­ше или равно 4, конец си­сте­мы . , со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше или равно минус 4,x боль­ше или равно 4, конец со­во­куп­но­сти . со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше или равно 2,x боль­ше или равно 4 конец со­во­куп­но­сти . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше или равно минус 4,x боль­ше или равно 4. конец со­во­куп­но­сти .

При таких x пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство:

 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: |x||x минус 4| конец ар­гу­мен­та мень­ше ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: |x плюс 4||x минус 4| конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: |x плюс 2||x минус 4| конец ар­гу­мен­та .

При x=4 не­ра­вен­ство об­ра­ща­ет­ся в ра­вен­ство, что нас не устра­и­ва­ет. При про­чих x можно по­де­лить на  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: \absx минус 4 конец ар­гу­мен­та боль­ше 0, по­лу­чим:

 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: |x| конец ар­гу­мен­та мень­ше ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: |x плюс 4| конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: |x плюс 2| конец ар­гу­мен­та .

При x боль­ше 4 это оче­вид­но, по­сколь­ку  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: |x| конец ар­гу­мен­та мень­ше ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: |x плюс 4| конец ар­гу­мен­та . Раз­бе­рем те­перь слу­чай x мень­ше или равно минус 4:

 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: минус x конец ар­гу­мен­та мень­ше ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: минус x минус 4 конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: минус x минус 2 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но минус x мень­ше минус x минус 4 минус x минус 2 плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но x плюс 6 мень­ше 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та .

При x мень­ше минус 6 верно, по­сколь­ку левая часть от­ри­ца­тель­на, а пра­вая по­ло­жи­тель­на. При  минус 6 мень­ше или равно x мень­ше или равно минус 4 обе части не­от­ри­ца­тель­ны и можно воз­ве­сти в квад­рат:

x в квад­ра­те плюс 12x плюс 36 мень­ше 4 левая круг­лая скоб­ка x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но x в квад­ра­те плюс 12x плюс 36 мень­ше 4 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 6x плюс 8 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но x в квад­ра­те плюс 12x плюс 36 мень­ше 4x в квад­ра­те плюс 24x плюс 32 рав­но­силь­но 3x в квад­ра­те плюс 12x минус 4 боль­ше 0.

Кор­ня­ми урав­не­ния 3x в квад­ра­те плюс 12x минус 4=0 яв­ля­ют­ся

x = дробь: чис­ли­тель: минус 12\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 144 плюс 48 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: минус 12\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 192 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: минус 12\pm 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби = минус 2\pm дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Зна­чит, ре­ше­ни­я­ми не­ра­вен­ства будут x мень­ше минус 2 минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби или x боль­ше минус 2 плюс дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Ясно, что

 минус 6= минус 2 минус 4 мень­ше минус 2 минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби мень­ше минус 2 минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = минус 4 мень­ше минус 2 плюс дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби ,

по­это­му к от­ве­ту до­ба­вит­ся про­ме­жу­ток  левая квад­рат­ная скоб­ка минус 6; минус 2 минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ:  левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 2 минус дробь: чис­ли­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 4; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .


Аналоги к заданию № 1304: 1305 Все