РЕШУ УРОК: задания, ответы, решения

Каталог заданий.
6. Остатки по модулю, малая теорема Ферма

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 26 № 7098 Добавить в вариант

Целые числа, делимость, уравнения в целых числах. 6. Остатки по модулю, малая теорема Ферма

Найдите остаток от деления на 83 числа: a) 9⁸³, б) 9¹⁶⁵.

Решение.

Указание. Примените малую теорему Ферма.

РешениеСпрятать решение · Помощь

Тип 26 № 7100 Добавить в вариант

Целые числа, делимость, уравнения в целых числах. 6. Остатки по модулю, малая теорема Ферма

Найти остаток от деления:

1)  числа 39⁴⁶ на 5;

2)  числа 64²⁹ на 7;

3)  числа 103¹⁵ на 17;

4)  числа 10¹⁰ + 28³ − 1 на 3;

5)  числа 7 · 10³⁰ на 9.

Решение.

1)   $39 в степени левая круглая скобка 46 правая круглая скобка = левая круглая скобка 40 минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 46 правая круглая скобка \equiv левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 46 правая круглая скобка = 1 левая круглая скобка mod 5 правая круглая скобка ;$

2)   $64 в степени левая круглая скобка 29 правая круглая скобка = левая круглая скобка 63 плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 29 правая круглая скобка \equiv 1 в степени левая круглая скобка 29 правая круглая скобка = 1 левая круглая скобка mod 7 правая круглая скобка ;$

3)   $103 в степени левая круглая скобка 15 правая круглая скобка = левая круглая скобка 102 плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 15 правая круглая скобка \equiv 1 в степени левая круглая скобка 15 правая круглая скобка = 1 левая круглая скобка mod 17 правая круглая скобка ;$

4)   $10 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка плюс 28 в кубе минус 1 = левая круглая скобка 9 плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 27 плюс 1 правая круглая скобка в кубе минус 1 \equiv 1 плюс 1 минус 1 = 2 левая круглая скобка mod 3 правая круглая скобка ;$

5)   $7 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 30 правая круглая скобка = 7 умножить на левая круглая скобка 9 плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 30 правая круглая скобка \equiv 7 умножить на 1 = 7 левая круглая скобка mod 9 правая круглая скобка .$

РешениеСпрятать решение · Помощь

Тип 26 № 7101 Добавить в вариант

Целые числа, делимость, уравнения в целых числах. 6. Остатки по модулю, малая теорема Ферма

Найдите остатки от деления на 83 чисел:

а)  9⁸²;

б)  9⁸⁴;

в)  9⁸⁸;

г)  9¹⁶⁵,

д)  9^100!.

Решение.

а)  Имеем $9 в степени левая круглая скобка 82 правая круглая скобка \equiv 1 левая круглая скобка mod 83 правая круглая скобка .$

б)  Последовательно получаем:

$9 в степени левая круглая скобка 84 правая круглая скобка = 9 в квадрате умножить на 9 в степени левая круглая скобка 82 правая круглая скобка ,$

$9 в степени левая круглая скобка 82 правая круглая скобка \equiv 1 левая круглая скобка mod 83 правая круглая скобка ,$

$9 в степени левая круглая скобка 84 правая круглая скобка \equiv 9 в квадрате умножить на 9 в степени левая круглая скобка 82 правая круглая скобка \equiv 9 в квадрате умножить на 1 \equiv 81 левая круглая скобка mod 83 правая круглая скобка .$

в)  Последовательно получаем:

$9 в степени левая круглая скобка 88 правая круглая скобка = 9 в степени 6 умножить на 9 в степени левая круглая скобка 82 правая круглая скобка ,$

$9 в степени 6 = 9 в кубе умножить на 9 в кубе ,$

$9 в кубе \equiv 65 левая круглая скобка mod 83 правая круглая скобка ,$

$9 в степени 6 = 65 умножить на 65 = 13 в квадрате умножить на 5 в квадрате \equiv 75 левая круглая скобка mod 83 правая круглая скобка ,$

$9 в степени левая круглая скобка 88 правая круглая скобка \equiv 9 в степени 6 умножить на 9 в степени левая круглая скобка 82 правая круглая скобка \equiv 75 умножить на 1 \equiv 75 левая круглая скобка mod 83 правая круглая скобка .$

г)  Последовательно получаем:

$9 в степени левая круглая скобка 165 правая круглая скобка = 9 в степени левая круглая скобка 82 правая круглая скобка умножить на 9 в степени левая круглая скобка 83 правая круглая скобка ,$

$9 в степени левая круглая скобка 83 правая круглая скобка = 9 умножить на 9 в степени левая круглая скобка 82 правая круглая скобка \equiv 9 умножить на 1 \equiv 9 левая круглая скобка mod 83 правая круглая скобка ,$

$9 в степени левая круглая скобка 165 правая круглая скобка \equiv 9 умножить на 1 \equiv 9 левая круглая скобка mod 83 правая круглая скобка .$

д)  По малой теореме Ферма числа  $9 в степени левая круглая скобка 82 правая круглая скобка$ при делении на 83 дает остаток 1. Следовательно, и любая степень этого числа при делении на 83 даст остаток⁠1.

Ответ: а)  1; б)  81; в)  75; г)  9; д)  1.

РешениеСпрятать решение · Помощь

Тип 26 № 7102 Добавить в вариант

Целые числа, делимость, уравнения в целых числах. 6. Остатки по модулю, малая теорема Ферма

Найдите:

а)  3²⁰¹⁵ (mod 31);

б)  7⁶⁰⁰ (mod 31).

Помощь

Тип 26 № 7103 Добавить в вариант

Целые числа, делимость, уравнения в целых числах. 6. Остатки по модулю, малая теорема Ферма

Будет ли простым число:

а)  28¹⁰¹³ + 1013²⁸;

б)  1093¹⁰¹² + 1012?

Помощь

Пройти тестирование по этим заданиям

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе