Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем вы­ра­же­ние:

Сле­до­ва­тель­но, гра­фик дан­ной функ­ции  — окруж­ность с ра­ди­у­сом

За­ме­тим, что центр окруж­но­сти при­над­ле­жит гра­фи­ку функ­ции Сле­до­ва­тель­но, гра­фик этой пря­мой от­се­ка­ет ровно по­ло­ви­ну пло­ща­ди окруж­но­сти. Найдём пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми:

Ответ:

Ре­ше­ние. Ответ:

Ре­ше­ние. Мно­же­ство точек, со­от­вет­ству­ю­щее пер­во­му не­ра­вен­ству  — квад­рат, об­ра­зо­ван­ный пря­мы­ми и Вто­рое не­ра­вен­ство задаёт окруж­ность ра­ди­у­са 1 с цен­тром в точке (−2; 0). По­стро­им обе фи­гу­ры.

Пло­щадь ис­ко­мой фи­гу­ры равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка, от­се­ка­е­мо­го от квад­ра­та пря­мой и по­ло­ви­не пло­ща­ди окруж­но­сти:

Ответ:

Ре­ше­ние. Ответ:

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем вто­рое не­ра­вен­ство:

Пер­вое не­ра­вен­ство задаёт квад­рат, об­ра­зо­ван­ный пря­мы­ми и вто­рое  — об­ласть вне окруж­но­сти с цен­тром в точке и ра­ди­у­сом Пло­щадь пе­ре­се­че­ния этих фигур равна раз­но­сти пло­ща­ди квад­ра­та и пло­ща­ди фи­гу­ры, от­се­ка­е­мой окруж­но­стью от этого квад­ра­та. Сто­ро­на квад­ра­та равна а его пло­щадь равна 8.

Оста­лось найти пло­щадь от­се­чен­ной фи­гу­ры (вы­де­ле­на ро­зо­вым). Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Ис­ко­мая пло­щадь равна сумме пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ADE, рав­ной 1, и пло­ща­ди кру­го­во­го сег­мен­та, ле­жа­ще­го над хор­дой AD.

Пло­щадь сег­мен­та най­дем по фор­му­ле где угол α есть цен­траль­ный угол ACD, рав­ный двум углам ACB.

Ра­ди­ус окруж­но­сти в два раза боль­ше рас­сто­я­ния между цен­тром окруж­но­сти и на­ча­лом ко­ор­ди­нат, то есть, а зна­чит, угол BAC равен 30°. Тогда угол ACB равен 60°, а угол ACD равен 120°, то есть От­сю­да по­лу­ча­ем:

Итак, пло­щадь пе­ре­се­че­ния мно­жеств ре­ше­ний не­ра­венств равна

При­ме­ча­ние.

Пло­щадь сег­мен­та можно было найти как раз­ность пло­ща­ди сек­то­ра ACD и пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ACD. За­ме­тим, что

Ра­ди­ус окруж­но­сти в два раза боль­ше рас­сто­я­ния между цен­тром окруж­но­сти и на­ча­лом ко­ор­ди­нат, то есть, а зна­чит, угол BAC равен 30°, угол ACB равен 60°, а угол ACD равен 120°. Найдём пло­щадь сек­то­ра ACD:

Сле­до­ва­тель­но, пло­щадь сег­мен­та равна

Итак, пло­щадь пе­ре­се­че­ния мно­жеств ре­ше­ний не­ра­венств равна

Ответ:

Ре­ше­ние. Ответ: