РЕШУ УРОК — алгебра

46. Решите неравенство логарифмированием обеих частей

1.  Тип 14 № 2290 Добавить в вариант

Логарифмические уравнения, неравенства, системы.46. Решите неравенство логарифмированием обеих частей

Решите неравенство $x в степени левая круглая скобка \log правая круглая скобка _2x плюс 2 больше или равно 256.$

Решение. Решим неравенство с помощью логарифмирования по основанию 2:

$x в степени левая круглая скобка \log правая круглая скобка _2x плюс 2 больше или равно 256 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x в степени левая круглая скобка \log правая круглая скобка _2x плюс 2 больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 256 равносильно левая круглая скобка \log _2x плюс 2 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x больше или равно 8 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка в квадрате x плюс 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x минус 8 больше или равно 0.$ $x в степени левая круглая скобка \log правая круглая скобка _2x плюс 2 больше или равно 256 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x в степени левая круглая скобка \log правая круглая скобка _2x плюс 2 больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 256 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка \log _2x плюс 2 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x больше или равно 8 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка в квадрате x плюс 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x минус 8 больше или равно 0.$

Пусть $t = логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x,$ находим:

$t в квадрате плюс 2t минус 8 больше или равно 0 равносильно левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 4 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно совокупность выражений t больше или равно 2,t меньше или равно минус 4. конец совокупности .$

Вернtмся к исходной переменной:

$совокупность выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x больше или равно 2, логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x меньше или равно минус 4 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x больше или равно 4,0 меньше x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби . конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 4; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

2290

$левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 4; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

2.  Тип 14 № 2291 Добавить в вариант

Логарифмические уравнения, неравенства, системы.46. Решите неравенство логарифмированием обеих частей

Решите неравенство $x в степени левая круглая скобка \log правая круглая скобка _3 левая круглая скобка 3x правая круглая скобка больше 9.$

Решение. Ответ: $левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

2291

$левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

3.  Тип 14 № 2292 Добавить в вариант

Логарифмические уравнения, неравенства, системы.46. Решите неравенство логарифмированием обеих частей

Решите неравенство $x в степени левая круглая скобка десятичный логарифм x правая круглая скобка меньше дробь: числитель: 100, знаменатель: x конец дроби .$

Решение. Возьмём десятичный логарифм от обеих частей неравенства:

$x в степени левая круглая скобка десятичный логарифм x правая круглая скобка меньше дробь: числитель: 100, знаменатель: x конец дроби равносильно \lgx в степени левая круглая скобка десятичный логарифм x правая круглая скобка меньше десятичный логарифм дробь: числитель: 100, знаменатель: x конец дроби равносильно \lg в квадрате x меньше 2 минус десятичный логарифм x равносильно$

$равносильно \lg в квадрате x плюс десятичный логарифм x минус 2 меньше 0 равносильно система выражений десятичный логарифм x больше минус 2, десятичный логарифм x меньше 1 конец системы . равносильно система выражений x больше 0,x больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 100 конец дроби ,x меньше 10 конец системы . равносильно система выражений x больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 100 конец дроби ,x меньше 10. конец системы .$

Ответ: $левая круглая скобка 0,01;10 правая круглая скобка .$

2292

$левая круглая скобка 0,01;10 правая круглая скобка .$

4.  Тип 14 № 2293 Добавить в вариант

Логарифмические уравнения, неравенства, системы.46. Решите неравенство логарифмированием обеих частей

Решите неравенство $x в степени левая круглая скобка десятичный логарифм x плюс 2 правая круглая скобка меньше или равно 1000.$

Решение. Ответ: $левая квадратная скобка 0,001;10 правая квадратная скобка .$

Ответ: $левая квадратная скобка 0,001;10 правая квадратная скобка .$

2293

$левая квадратная скобка 0,001;10 правая квадратная скобка .$

5.  Тип 14 № 2294 Добавить в вариант

Логарифмические уравнения, неравенства, системы.46. Решите неравенство логарифмированием обеих частей

Решите неравенство $x в степени левая круглая скобка 1 плюс десятичный логарифм дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка больше 400.$

Решение. Логарифмируем обе части неравенства по основанию 10:

$x в степени левая круглая скобка 1 плюс десятичный логарифм дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка больше 400 равносильно \lgx в степени левая круглая скобка 1 плюс десятичный логарифм дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка больше десятичный логарифм 400 равносильно левая круглая скобка 1 плюс десятичный логарифм дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка умножить на десятичный логарифм x больше 2 минус десятичный логарифм 4 равносильно$

$равносильно \lg в квадрате x плюс левая круглая скобка 1 минус десятичный логарифм 2 правая круглая скобка десятичный логарифм x минус 2 минус десятичный логарифм 4 больше 0.$

Полученное неравенство является квадратным относительно $десятичный логарифм x.$ Решим его:

$совокупность выражений десятичный логарифм x меньше дробь: числитель: \lg2 минус 1 минус корень из: начало аргумента: левая круглая скобка \lg минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс 4 левая круглая скобка 2 плюс десятичный логарифм 4 правая круглая скобка конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , десятичный логарифм x больше дробь: числитель: \lg2 минус 1 плюс корень из: начало аргумента: левая круглая скобка \lg минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс 4 левая круглая скобка 2 плюс десятичный логарифм 4 правая круглая скобка конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений десятичный логарифм x меньше дробь: числитель: \lg2 минус 1 минус левая круглая скобка десятичный логарифм 2 плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби , десятичный логарифм x больше дробь: числитель: \lg2 минус 1 плюс левая круглая скобка десятичный логарифм 2 плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$ $совокупность выражений десятичный логарифм x меньше дробь: числитель: \lg2 минус 1 минус корень из: начало аргумента: левая круглая скобка \lg минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс 4 левая круглая скобка 2 плюс десятичный логарифм 4 правая круглая скобка конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , десятичный логарифм x больше дробь: числитель: \lg2 минус 1 плюс корень из: начало аргумента: левая круглая скобка \lg минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс 4 левая круглая скобка 2 плюс десятичный логарифм 4 правая круглая скобка конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений десятичный логарифм x меньше дробь: числитель: \lg2 минус 1 минус левая круглая скобка десятичный логарифм 2 плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби , десятичный логарифм x больше дробь: числитель: \lg2 минус 1 плюс левая круглая скобка десятичный логарифм 2 плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$

$равносильно совокупность выражений десятичный логарифм x меньше минус 2, десятичный логарифм x больше десятичный логарифм 2 плюс 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений десятичный логарифм x меньше десятичный логарифм дробь: числитель: 1, знаменатель: 100 конец дроби , десятичный логарифм x больше десятичный логарифм 20 конец совокупности . равносильно система выражений x больше 0,x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 100 конец дроби ,x больше 20 конец системы . равносильно система выражений x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 100 конец дроби ,x больше 20. конец системы .$

Ответ: $левая круглая скобка 0;0,01 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 20; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

2294

$левая круглая скобка 0;0,01 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 20; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

6.  Тип 14 № 2295 Добавить в вариант

Логарифмические уравнения, неравенства, системы.46. Решите неравенство логарифмированием обеих частей

Решите неравенство $x в степени левая круглая скобка 2 плюс десятичный логарифм дробь: числитель: 3, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка больше или равно 30.$

Решение. Ответ: $левая квадратная скобка 10;30 правая квадратная скобка .$

Ответ: $левая квадратная скобка 10;30 правая квадратная скобка .$

2295

$левая квадратная скобка 10;30 правая квадратная скобка .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	2290	$левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 4; плюс бесконечность правая круглая скобка .$
2	2291	$левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$
3	2292	$левая круглая скобка 0,01;10 правая круглая скобка .$
4	2293	$левая квадратная скобка 0,001;10 правая квадратная скобка .$
5	2294	$левая круглая скобка 0;0,01 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 20; плюс бесконечность правая круглая скобка .$
6	2295	$левая квадратная скобка 10;30 правая квадратная скобка .$