Ре­ше­ние. Умно­жим левую и пра­вую части урав­не­ния на Имеем:

Ответ:

Ре­ше­ние. Ответ:

Ре­ше­ние. Умно­жая на со­пря­жен­ное, пе­рей­дем к след­ствию. Умно­жим на раз­ность кор­ней. Имеем:

Сло­жим (1) и (2):

Про­вер­ка по­ка­зы­ва­ет, что ре­ше­ни­ем яв­ля­ет­ся число 4.

Ответ:

Ре­ше­ние. Ответ:

Ре­ше­ние. До­мно­жим части урав­не­ния на сумму сла­га­е­мых левой части, тем самым пе­рей­дя к след­ствию:

Сло­жим ис­ход­ное урав­не­ние и урав­не­ние (⁎), по­лу­чим:

По­лу­чен­ные корни не­об­хо­ди­мо про­ве­рить под­ста­нов­кой, но ир­ра­ци­о­наль­ные корни про­ве­рять за­труд­ни­тель­но, по­это­му не­об­хо­ди­мо до­пол­нить ре­ше­ние усло­ви­я­ми рав­но­силь­ных пре­об­ра­зо­ва­ний. \

По­сто­рон­ние корни при дан­ном ходе ре­ше­ния могли по­явит­ся по че­ты­рем при­чи­нам: из-за умно­же­ния на 0 в пер­вом шаге (1), из-за пе­ре­хо­да к след­ствию при воз­ве­де­нии в квад­рат (2), из-за того, что корни суммы ис­ход­но­го урав­не­ния и урав­не­ния (⁎) не яв­ля­ют­ся кор­ня­ми этих урав­не­ний по от­дель­но­сти (3), а также из-за рас­ши­ре­ния ОДЗ (4) при по­лу­че­нии корня Рас­смот­рим эти при­чи­ны.

Умно­же­ние обеих ча­стей урав­не­ния на сумму не­от­ри­ца­тель­ных вы­ра­же­ний может быть умно­же­ни­ем на 0, но толь­ко тогда, когда оба этих вы­ра­же­ния равны нулю. Од­на­ко под­ко­рен­ное вы­ра­же­ние по­ло­жи­тель­но при всех зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной. Таким об­ра­зом, в ре­зуль­та­те (1) по­сто­рон­них кор­ней по­явит­ся не могло.

Пре­об­ра­зо­ва­ние (2) рав­но­силь­но при усло­вии не­от­ри­ца­тель­но­сти пра­вой части урав­не­ния, то есть при Этому усло­вию удо­вле­тво­ря­ют оба най­ден­ных корня.

Пре­об­ра­зо­ва­ние (3) со­сто­я­ло в сло­же­нии урав­не­ний, за­ме­ним его рав­но­силь­ным пре­об­ра­зо­ва­ни­ем. Для этого можно либо со­хра­нить одно из урав­не­ний си­сте­мы, либо пе­рей­ти к си­сте­ме, со­дер­жа­щей не толь­ко сумму, но и раз­ность урав­не­ний ис­ход­ной си­сте­мы. В по­след­нем слу­чае по­лу­ча­ем:

Тем самым най­ден­ный ранее ко­рень яв­ля­ет­ся по­сто­рон­ним.

Пре­об­ра­зо­ва­ние (4) со­сто­я­ло в том, мы за­ме­ни­ли урав­не­ние

двумя урав­не­ни­я­ми: и

Ре­ше­ние урав­не­ния может не ле­жать в об­ла­сти опре­де­ле­ния ис­ход­но­го урав­не­ния. Най­ден­ное ре­ше­ние не­труд­но про­ве­рить под­ста­нов­кой в ис­ход­ное урав­не­ние. Оно об­ра­ща­ет урав­не­ние в вер­ное ра­вен­ство.

Ответ:

При­ме­ча­ния.

1.  Если бы вме­сто ра­ци­о­наль­но­го корня при ука­зан­ном спо­со­бе ре­ше­ния был по­лу­чен ир­ра­ци­о­наль­ный ко­рень, про­вер­ка ко­то­ро­го под­ста­нов­кой была бы за­труд­ни­тель­на, в до­пол­не­ние к при­ве­ден­ным рас­суж­де­ни­ям тре­бо­ва­лось бы найти об­ласть опре­де­ле­ния урав­не­ния и про­ве­рить, лежит ли в ней най­ден­ный ко­рень.

2.  От­веть­те на во­прос. Пусть ре­ша­ю­щий нашел не сумму ис­ход­но­го урав­не­ния и урав­не­ния (⁎), а их раз­ность  — урав­не­ние воз­вел обе части урав­не­ния в квад­рат при усло­вии и по­лу­чил при дан­ном усло­вии един­ствен­ный ко­рень Можно ли най­ден­ный ко­рень сразу за­пи­сать в ответ без до­пол­ни­тель­ной про­вер­ки? Пра­виль­ный ответ: нет. Как и в при­ве­ден­ном выше ре­ше­нии, не­об­хо­ди­ма либо про­вер­ка под­ста­нов­кой (если она воз­мож­на), либо рав­но­силь­ные пре­об­ра­зо­ва­ния ис­ход­но­го урав­не­ния и по­лу­чен­но­го урав­не­ния-след­ствия.

Ре­ше­ние. Ответ: