Сумма неотрицательных чисел a, b и c равна 1. Найдите наименьшее значение выражения 
По условию 
откуда находим:
Тогда
Осталось найти наименьшую возможную сумму квадратов.
Способ 1 (среднее арифметическое и среднее квадратичное). Из неравенства о среднем арифметическом и среднем квадратичном для 
получаем:
откуда
а потому 
В случае равных чисел a, b, c неравенство обращается в равенство.
Способ 2 (среднее арифметическое и среднее геометрическое). Для любых чисел a, b, c, сложив неравенства
и разделив суммы на 2, получаем:
По условию а потому
откуда 
Следовательно,
Неравенства обращаются в равенство, если 
Ответ:
Приведём решение методом Штурма.
По условию откуда находим:
Тогда
Применим метод Штурма. Пусть 
докажем, что 
где 
Имеем:
что верно, так как 
Рассмотрим сумму
Отметим, что если 
а произведение ab увеличивается, то и вся сумма увеличится.
Пусть не все числа a, b и с изначально 
меньше, чем если все числа равны. А потому:
Сумма неотрицательных чисел a, b и с равна 2. Найдите наименьшее значение выражения 
По условию 
откуда находим
Обозначим выражение из условия S, тогда
Применим методом Штурма. Пусть 
докажем, что 
где 
Имеем:
что верно, так как 
Рассмотрим сумму
Отметим, что если 
а произведение ab увеличивается, то и вся сумма увеличится.
Пусть не все числа a, b и с изначально равны 
тогда среди них найдется число большее 
и число меньшее 
Заменим их на два числа с такой же суммой, чтобы то из них, которое ближе к 2/3, стало равно 
Если два оставшихся числа не равны 
то и их заменим на два числа, равных 
(если одно станет то и оставшееся станет равно так как сумма всех трех чисел равна 2).
Таким образом, для любых неотрицательных числе a, b и c таких, что они не все они равны между собой, значение 
меньше, чем если все числа равны. А потому,
Ответ: −8.
Наверх