Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых система 
имеет более двух решений.
Преобразуем первое уравнение системы:
Тем самым, первое уравнение задаёт объединение дуг 
и 
окружностей радиуса 
с центрами в точках 
и 
лежащих ниже и выше прямой 
соответственно (см. рис.), пересекающихся в точках 
и 
Заметим, что точка касания 
лежит на дуге и прямая 
перпендикулярна прямой 
поскольку произведение угловых коэффициентов данных прямых равно −1.
Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую m, параллельную прямой 
или совпадающую с ней.
При 
прямая m пересекает каждую из дуг и в точке A и ещё в одной точке, отличной от точки A, то есть исходная система имеет три решения.
Аналогично, при 
прямая m проходит через точку B и исходная система имеет три решения.
При 
прямая m проходит через точку C, значит, прямая m касается дуг и 
то есть исходная система имеет два решения.
Аналогично, при 
прямая m касается дуг и то есть исходная система имеет два решения.
При 
или 
прямая m пересекает каждую из дуг и в двух точках, отличных от точек A и B, то есть исходная система имеет четыре решения.
При 
прямая m пересекает каждую из дуг и в точке, отличной от точек A и B, то есть исходная система имеет два решения.
При 
или 
прямая m не пересекает дуги и то есть исходная система не имеет решений.
Значит, исходная система имеет более двух решений при 
или 
Ответ: 
Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых система 
имеет ровно два решения.
Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.
Рассмотрим два случая:
1) Если 
то получаем уравнение
Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке 
и радиусом 
2) Если 
то получаем уравнение
Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке 
и радиусом
Полученные окружности пересекаются в двух точках 
и 
лежащих на прямой 
поэтому в первом случае получаем дугу с концами в точках A и B, во втором — дугу с концами в тех же точках (см. рис.).
Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую m, которая проходит через точку B и угловой коэффициент которой равен a.
При 
прямая m проходит через точки A и B, то есть исходная система имеет два решения.
При 
прямая m перпендикулярна прямой O1B, угловой коэффициент которой равен 
значит, прямая m касается дуги в точке B и пересекает дугу в двух точках (одна из которых — точка B), то есть исходная система имеет два решения.
При a = 8 прямая m перпендикулярна прямой O2B, угловой коэффициент которой равен 
значит, прямая m касается дуги в точке B и пересекает дугу в двух точках (одна из которых — точка B), то есть исходная система имеет два решения.
При 
или 
прямая m пересекает каждую из дуг и в точке B и ещё в одной точке, отличной от точки A, то есть исходная система имеет три решения.
При 
прямая m пересекает дугу в двух точках (одна из которых — точка B) и не пересекает дугу в точках, отличных от точки B, то есть исходная система имеет два решения.
При 
прямая m пересекает дугу в двух точках (одна из которых — точка B) и не пересекает дугу в точках, отличных от точки B, то есть исходная система имеет два решения.
Значит, исходная система имеет ровно два решения при 
Ответ:
Наверх