Комбинированные задания для подготовки к экзаменам.14. Найдите все значения параметра a, при которых
i
Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых уравнение существует хотя бы одна пара чисел x и y, для которых справедливо неравенство
Решение.
Рассмотрим две функции: и
Функция является кусочно-линейной, причём при угловой коэффициент равен либо −2, либо −8, а при угловой коэффициент равен либо 2, либо 8. Значит, функция f(x) убывает при и возрастает при поэтому
Поскольку получаем:
Если то поэтому неравенство не имеет решений.
Если то пара чисел удовлетворяет неравенству Получаем:
Ответ: [−5; 1].
Примечание.
Рекомендуем сравнить эту задачу с чуть более простыми заданиями 532960 и 532661 на ту же идею.
Приведем другое решение.
Заметим, что тогда следовательно, Раскроем модули, рассмотрим четыре случая.
1. Первый случай: Имеем:
2. Второй случай: Имеем:
3. Третий случай: Имеем:
4. Четвертый случай: Имеем:
Найдем точки пересечения прямых a1, a2, a3, a4 с прямыми и
1. Найдем точку пересечения прямых a1 и x1: следовательно, точка пересечения прямых имеет координаты (2; 1). Найдем точку пересечения прямых a1 и x2:
откуда Следовательно, точка пересечения прямых имеет координаты
2. Найдем точку пересечения прямых a2 и x1: следовательно, точка пересечения прямых имеет координаты (2; 1). Найдем точку пересечения прямых a2 и x2: следовательно, Точка пересечения прямых имеет координаты
3. Найдем точку пересечения прямых a3 и x1: следовательно, точка пересечения прямых имеет координаты (2; −5). Найдем точку пересечения прямых a3 и x2: следовательно, Точка пересечения прямых имеет координаты
4. Найдем точку пересечения прямых a4 и x1: следовательно, точка пересечения прямых имеет координаты (2; −5). Найдем точку пересечения прямых a4 и x2: следовательно, Точка пересечения прямых имеет координаты
Построим графики прямых на оси xOa. Все точки области ABCD, включая точки на границах, подходят под определение a, подходящему для неравенства. На графике видно, что B соответствует а D соответствует Подходящие a:
Комбинированные задания для подготовки к экзаменам.14. Найдите все значения параметра a, при которых
i
Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых уравнение существует хотя бы одна пара чисел x и y, для которых справедливо неравенство
Решение.
Рассмотрим две функции: и
Функция является кусочно-линейной, причём при угловой коэффициент равен либо −1, либо −7, а при угловой коэффициент равен либо 1, либо 7. Значит, функция f(x) убывает при и возрастает при поэтому
Поскольку получаем:
Если то поэтому неравенство не имеет решений.
Если то пара чисел удовлетворяет неравенству Получаем:
и 
угловой коэффициент равен либо −2, либо −8, а при 
угловой коэффициент равен либо 2, либо 8. Значит, функция f(x) убывает при 
и возрастает при 
поэтому 
получаем: 
то 
поэтому неравенство 
не имеет решений.
то пара чисел 
удовлетворяет неравенству 
Получаем:
тогда 
следовательно, 
Раскроем модули, рассмотрим четыре случая.
Имеем:
Имеем:
и 
следовательно, точка пересечения прямых имеет координаты (2; 1). Найдем точку пересечения прямых a1 и x2:
Следовательно, точка пересечения прямых имеет координаты 
следовательно, точка пересечения прямых имеет координаты (2; 1). Найдем точку пересечения прямых a2 и x2: 
следовательно, 
Точка пересечения прямых имеет координаты 
следовательно, точка пересечения прямых имеет координаты (2; −5). Найдем точку пересечения прямых a3 и x2: 
следовательно, 
следовательно, точка пересечения прямых имеет координаты (2; −5). Найдем точку пересечения прямых a4 и x2: 
следовательно, 
Точка пересечения прямых имеет координаты 
а D соответствует 
Подходящие a: 
и 
угловой коэффициент равен либо −1, либо −7, а при 
угловой коэффициент равен либо 1, либо 7. Значит, функция f(x) убывает при 
и возрастает при 
поэтому 
то 
поэтому неравенство 
то пара чисел 
удовлетворяет неравенству 