Решим задачу с помощью исследования расположения корней квадратного трехчлена.
Имеем: Введем новую переменную: пусть Тогда Как было показано выше, дискриминант квадратного трехчлена относительно t при всех положителен. Ветви параболы, т. е., графика функции направлены вверх.
Найдем значения a, при которых Их удобно искать, решив 3 системы неравенств. Положим число — абсцисса вершины параболы.
Случай 1: откуда получаем:
Полученная система несовместна.
Случай 2: Тогда:
Система несовместна.
Случай 3: Находим:
Таким образом, только при Поскольку при остальных значениях квадратный трехчлен относительно t будет иметь хотя бы один действительный корень, удовлетворяющий условию то искомым множеством значений а будет множество
Комбинированные задания для подготовки к экзаменам.13. Найдите все значения параметра a, при которых
i
Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых любое решение уравнения лежит на
Решение.
Рассмотрим функцию Она определена при возрастает на области определения и принимает все значения от до Значит, уравнение имеет единственное решение. Это решение принадлежит отрезку тогда и только тогда, когда и Получаем систему неравенств:
лежит на 
должна быть справедлива оценка 
для каждого 
так как 
Введем новую переменную: пусть 
Тогда 
Как было показано выше, дискриминант квадратного трехчлена относительно t при всех 
положителен. Ветви параболы, т. е., графика функции 
направлены вверх.
Их удобно искать, решив 3 системы неравенств. Положим 
число 
— абсцисса вершины параболы.
откуда получаем:
Тогда:
Находим:
только при 
Поскольку при остальных значениях квадратный трехчлен относительно t будет иметь хотя бы один действительный корень, удовлетворяющий условию 
то искомым множеством значений а будет множество 
лежит на 
Она определена при 
возрастает на области определения и принимает все значения от 
до 
Значит, уравнение 
имеет единственное решение. Это решение принадлежит отрезку 
тогда и только тогда, когда 
и 
Получаем систему неравенств:
