Верно ли, что для всякой арифметической прогрессии из четырех положительных чисел существует выпуклый четырехугольник, длинами сторон которого являются эти числа?
Решение.
Ответ ясен, если использовать следующее «геометрически очевидное» утверждение: если и то существует замкнутая выпуклая ломаная, длины звеньев которой равны аi.
Найдите все четырехугольники, длины сторон и углы которых (взятые в циклических порядках) образуют арифметические прогрессии.
Решение.
Квадраты и только они. Нетрудно видеть, что если углы четырехугольника образуют арифметическую прогрессию, то он — трапеция. Далее, если и длины его сторон образуют арифметическую прогрессию, то (отрезок CK параллелен стороне AB), откуда следует, что т. е. этот четырехугольник является прямоугольником.
и 
то существует замкнутая выпуклая ломаная, длины звеньев которой равны аi. 
(отрезок CK параллелен стороне AB), откуда следует, что 
т. е. этот четырехугольник является прямоугольником.