Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 9 № 916
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство с па­ра­мет­ром 	\ левая квад­рат­ная скоб­ка |x плюс 2| минус |x в квад­ра­те минус 4| боль­ше a.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Вос­поль­зу­ем­ся свой­ством мо­ду­ля:

|x плюс 2| минус |x в квад­ра­те минус 4| боль­ше a рав­но­силь­но |x плюс 2| минус | левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка | боль­ше a рав­но­силь­но |x плюс 2| левая круг­лая скоб­ка 1 плюс |x минус 2| пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше a.

Оче­вид­но, что при a < 0 ре­ше­ни­ем будет вся чис­ло­вая пря­мая. При a  =  0, имеем:

|x плюс 2| левая круг­лая скоб­ка 1 плюс |x минус 2| пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0 рав­но­силь­но |x плюс 2| боль­ше 0 рав­но­силь­но x плюс 2 не равно 0 рав­но­силь­но x не равно минус 2.

При a > 0: |x плюс 2| левая круг­лая скоб­ка 1 плюс |x минус 2| пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше a. По­стро­им гра­фик левой части ис­ход­но­го не­ра­вен­ства, рас­крыв мо­ду­ли:

|x плюс 2| левая круг­лая скоб­ка 1 плюс |x минус 2| пра­вая круг­лая скоб­ка =y рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 плюс x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =y,\; x боль­ше или равно 2, левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 плюс 2 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка =y,\; минус 2 мень­ше или равно x мень­ше или равно 2, минус левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 плюс 2 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка =y,\; x мень­ше минус 2 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x в квад­ра­те плюс x минус 2=y,\; x боль­ше или равно 2, минус x в квад­ра­те плюс x плюс 6=y,\; минус 2 мень­ше или равно x мень­ше или равно 2,x в квад­ра­те минус x минус 6=y,\; x мень­ше минус 2. конец си­сте­мы .

Найдём боль­шую общую точку пря­мой y=a и па­ра­бо­лы y=x в квад­ра­те плюс x минус 2:

x в квад­ра­те плюс x минус 2=a рав­но­силь­но x в квад­ра­те плюс x минус левая круг­лая скоб­ка a плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: минус 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4a плюс 9 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Найдём общие точки пря­мой y=a и па­ра­бо­лы y= минус x в квад­ра­те плюс x плюс 6:

 минус x в квад­ра­те плюс x плюс 6=a рав­но­силь­но минус x в квад­ра­те плюс x плюс левая круг­лая скоб­ка 6 минус a пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 25 минус 4a конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,x= дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 25 минус 4a конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

Найдём мень­шую общую точку пря­мой y=a и па­ра­бо­лы y=x в квад­ра­те минус x минус 6:

x в квад­ра­те минус x минус 6=a рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус x минус левая круг­лая скоб­ка 6 плюс a пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 25 плюс 4a конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем, что

при 0 мень­ше или равно a\leqslant4: левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 25 плюс 4a конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 25 минус 4a конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка ,

при 4 мень­ше a мень­ше дробь: чис­ли­тель: 25, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби : левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4a плюс 25 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 25 минус 4a конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 25 минус 4a конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: минус 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 9 плюс 4a конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка ,

при a боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 25, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби : левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 25 плюс 4a конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: минус 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 9 плюс 4a конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Объ­еди­ним все в ито­го­вый ответ.

 

Ответ: При a мень­ше 0: R , при a=0: левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка минус 2; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка , при 0 мень­ше a мень­ше 4: левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 25 плюс 4a конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 25 минус 4a конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка , при a=4: левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 41 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка минус 1;2 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 2; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка , при 4 мень­ше a мень­ше дробь: чис­ли­тель: 25, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби : левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4a плюс 25 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 25 минус 4a конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 25 минус 4a конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: минус 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 9 плюс 4a конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка , при a боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 25, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби : левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 25 плюс 4a конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: минус 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 9 плюс 4a конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .


Аналоги к заданию № 915: 916 Все