РЕШУ УРОК: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 29 № 7416 Добавить в вариант

Последовательность {a_n} задана рекуррентно: $a_1=6,$ а при $n больше или равно 2$ следующие члены выражаются через предыдущие по рекуррентной формуле $a_n=2 a_n минус 1 минус 3 n плюс 5.$ Необходимо доказать, что $a_n=2 в степени n плюс 3 n плюс 1$ для всех натуральных чисел n.

Спрятать решение

Решение.

База индукции: при $n=1$ формула верна: $a_1 = 2 в степени 1 плюс 3 плюс 1 = 6 .$

Шаг возвратной индукции: докажем, что если формула $a_n = 2 в степени n плюс 3n плюс 1$ верна для всех чисел, меньших n, то она верна и для числа n:

$a_n = 2a_n минус 1 минус 3n плюс 5 = 2 умножить на \underbrace левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка плюс 3 левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка плюс 1 правая круглая скобка _индукционная гипотеза минус 3n плюс 5 = 2 в степени n плюс 3n плюс 1 .$

Тем самым шаг индукции доказан.

Таким образом, требуемое доказано для всех натуральных чисел n.

Спрятать решение · Помощь