Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 6325
i

Ре­ши­те урав­не­ние  арк­си­нус x = 2 арк­ко­си­нус x.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Об­ласть зна­че­ний левой части  левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка пе­ре­се­ка­ет­ся с об­ла­стью зна­че­ний пра­вой части  левая квад­рат­ная скоб­ка 0; 2 Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка по от­рез­ку  левая квад­рат­ная скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . На этом от­рез­ке мо­но­тон­ны и синус и ко­си­нус, можно взять любую из них от обеих ча­стей урав­не­ния. Возь­мем синус, по­лу­чим:

 арк­си­нус x = 2 арк­ко­си­нус x рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 0 мень­ше или равно арк­си­нус x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , 0 мень­ше или равно 2 арк­ко­си­нус x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , синус левая круг­лая скоб­ка арк­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка = синус левая круг­лая скоб­ка 2 арк­ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 0 мень­ше или равно арк­си­нус x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , 0 мень­ше или равно арк­ко­си­нус x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , x = 2 синус левая круг­лая скоб­ка арк­ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка арк­ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка конец си­сте­мы . рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 0 мень­ше или равно x мень­ше или равно 1, дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно x мень­ше или равно 1, x = 2x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно x мень­ше или равно 1, x = 2x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно x мень­ше или равно 1, со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x = 0, x = \pm дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но x = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Ответ:  левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

 

При­ме­ча­ние.

Урав­не­ние можно ре­шить гра­фи­че­ски (сде­лай­те это).

Еще одна идея: левая часть воз­рас­та­ет на ОДЗ, а пра­вая убы­ва­ет, по­это­му урав­не­ние имеет не боль­ше од­но­го корня. Под­бо­ром опре­де­лим ко­рень  — число  дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .