РЕШУ УРОК — алгебра

Задания

Тип 17 № 6325 Добавить в вариант

Тригонометрические уравнения, неравенства, системы.28. Уравнения с обратными тригонометрическими функциями

Решите уравнение $арксинус x = 2 арккосинус x.$

Решение. Область значений левой части $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка$ пересекается с областью значений правой части $левая квадратная скобка 0; 2 Пи правая квадратная скобка$ по отрезку $левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$ На этом отрезке монотонны и синус и косинус, можно взять любую из них от обеих частей уравнения. Возьмем синус, получим:

$арксинус x = 2 арккосинус x равносильно система выражений 0 меньше или равно арксинус x меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , 0 меньше или равно 2 арккосинус x меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , синус левая круглая скобка арксинус x правая круглая скобка = синус левая круглая скобка 2 арккосинус x правая круглая скобка конец системы . равносильно система выражений 0 меньше или равно арксинус x меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , 0 меньше или равно арккосинус x меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби , x = 2 синус левая круглая скобка арккосинус x правая круглая скобка косинус левая круглая скобка арккосинус x правая круглая скобка конец системы . равносильно$ $арксинус x = 2 арккосинус x равносильно система выражений 0 меньше или равно арксинус x меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , 0 меньше или равно 2 арккосинус x меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , синус левая круглая скобка арксинус x правая круглая скобка = синус левая круглая скобка 2 арккосинус x правая круглая скобка конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 0 меньше или равно арксинус x меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , 0 меньше или равно арккосинус x меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби , x = 2 синус левая круглая скобка арккосинус x правая круглая скобка косинус левая круглая скобка арккосинус x правая круглая скобка конец системы . равносильно$ $арксинус x = 2 арккосинус x равносильно$
$равносильно система выражений 0 меньше или равно арксинус x меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , 0 меньше или равно 2 арккосинус x меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , синус левая круглая скобка арксинус x правая круглая скобка = синус левая круглая скобка 2 арккосинус x правая круглая скобка конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 0 меньше или равно арксинус x меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , 0 меньше или равно арккосинус x меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби , x = 2 синус левая круглая скобка арккосинус x правая круглая скобка косинус левая круглая скобка арккосинус x правая круглая скобка конец системы . равносильно$

$равносильно система выражений 0 меньше или равно x меньше или равно 1, дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно x меньше или равно 1, x = 2x корень из: начало аргумента: 1 минус x в квадрате конец аргумента конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно x меньше или равно 1, x = 2x корень из: начало аргумента: 1 минус x в квадрате конец аргумента конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно x меньше или равно 1, совокупность выражений x = 0, x = \pm дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби конец системы . конец совокупности . равносильно x = дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби .$ $равносильно система выражений 0 меньше или равно x меньше или равно 1, дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно x меньше или равно 1, x = 2x корень из: начало аргумента: 1 минус x в квадрате конец аргумента конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно x меньше или равно 1, x = 2x корень из: начало аргумента: 1 минус x в квадрате конец аргумента конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно x меньше или равно 1, совокупность выражений x = 0, x = \pm дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби конец системы . конец совокупности . равносильно x = дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: $левая фигурная скобка дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби правая фигурная скобка .$

Примечание.

Уравнение можно решить графически (сделайте это).

Еще одна идея: левая часть возрастает на ОДЗ, а правая убывает, поэтому уравнение имеет не больше одного корня. Подбором определим корень  — число $дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби .$

6325

$левая фигурная скобка дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби правая фигурная скобка .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	6325	$левая фигурная скобка дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби правая фигурная скобка .$