РЕШУ УРОК — алгебра

Задания

Тип 21 № 3528 Добавить в вариант

Разные задачи. 4. Уравнения вида

f(f(x)) = x

и приводимые к ним

Решите уравнение $корень из: начало аргумента: корень из: начало аргумента: x конец аргумента плюс 1 конец аргумента плюс 1=x.$

Решение. Уравнение имеет вид $f левая круглая скобка f левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка = x,$ где функция $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = корень из x плюс 1$ возрастающая. Это уравнение равносильно уравнению $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = x,$ откуда получаем:

$корень из x плюс 1 = x равносильно корень из x = x минус 1 равносильно система выражений x минус 1 больше или равно 0,x = левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате конец системы . равносильно система выражений x больше или равно 1,x в квадрате минус 3x плюс 1 = 0 конец системы . равносильно x = дробь: числитель: 3 плюс корень из 5 , знаменатель: 2 конец дроби .$ $корень из x плюс 1 = x равносильно корень из x = x минус 1 равносильно система выражений x минус 1 больше или равно 0,x = левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x больше или равно 1,x в квадрате минус 3x плюс 1 = 0 конец системы . равносильно x = дробь: числитель: 3 плюс корень из 5 , знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: $левая фигурная скобка дробь: числитель: 3 плюс корень из 5 , знаменатель: 2 конец дроби правая фигурная скобка .$

Приведем стандартное решение.

$корень из: начало аргумента: корень из: начало аргумента: x конец аргумента плюс 1 конец аргумента плюс 1=x равносильно корень из: начало аргумента: корень из: начало аргумента: x конец аргумента плюс 1 конец аргумента =x минус 1 равносильно система выражений x минус 1 больше или равно 0, корень из: начало аргумента: x конец аргумента плюс 1=x в квадрате минус 2x плюс 1 конец системы . равносильно система выражений x больше или равно 1, корень из: начало аргумента: x конец аргумента =x в квадрате минус 2x конец системы . равносильно$ $корень из: начало аргумента: корень из: начало аргумента: x конец аргумента плюс 1 конец аргумента плюс 1=x равносильно корень из: начало аргумента: корень из: начало аргумента: x конец аргумента плюс 1 конец аргумента =x минус 1 равносильно$
$равносильно система выражений x минус 1 больше или равно 0, корень из: начало аргумента: x конец аргумента плюс 1=x в квадрате минус 2x плюс 1 конец системы . равносильно система выражений x больше или равно 1, корень из: начало аргумента: x конец аргумента =x в квадрате минус 2x конец системы . равносильно$

$равносильно система выражений x больше или равно 1,x в квадрате минус 2x больше или равно 0, x=x в степени 4 минус 4x в кубе плюс 4x в квадрате конец системы . равносильно система выражений x больше или равно 1, совокупность выражений x меньше или равно 0,x больше или равно 2, конец системы . x в степени 4 минус 4x в кубе плюс 4x в квадрате минус x=0 конец совокупности . равносильно система выражений x больше или равно 2,x в степени 4 минус 4x в кубе плюс 4x в квадрате минус x=0. конец системы .$ $равносильно система выражений x больше или равно 1,x в квадрате минус 2x больше или равно 0, x=x в степени 4 минус 4x в кубе плюс 4x в квадрате конец системы . равносильно система выражений x больше или равно 1, совокупность выражений x меньше или равно 0,x больше или равно 2, конец системы . x в степени 4 минус 4x в кубе плюс 4x в квадрате минус x=0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений x больше или равно 2,x в степени 4 минус 4x в кубе плюс 4x в квадрате минус x=0. конец системы .$ $равносильно система выражений x больше или равно 1,x в квадрате минус 2x больше или равно 0, x=x в степени 4 минус 4x в кубе плюс 4x в квадрате конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x больше или равно 1, совокупность выражений x меньше или равно 0,x больше или равно 2, конец системы . x в степени 4 минус 4x в кубе плюс 4x в квадрате минус x=0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений x больше или равно 2,x в степени 4 минус 4x в кубе плюс 4x в квадрате минус x=0. конец системы .$

Полученное уравнение четвертой степени решим методом группировки.

$x в степени 4 минус 4x в кубе плюс 4x в квадрате минус x=0 равносильно x левая круглая скобка x в кубе минус 4x в квадрате плюс 4x минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно x левая круглая скобка x в кубе минус 1 минус 4x левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка =0 равносильно x левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений x=0,x=1, x= дробь: числитель: 3 минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , x= дробь: числитель: 3 плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .$ $x в степени 4 минус 4x в кубе плюс 4x в квадрате минус x=0 равносильно x левая круглая скобка x в кубе минус 4x в квадрате плюс 4x минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно x левая круглая скобка x в кубе минус 1 минус 4x левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно x левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений x=0,x=1, x= дробь: числитель: 3 минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , x= дробь: числитель: 3 плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .$

Условию $x больше или равно 2$ удовлетворяет только $x= дробь: числитель: 3 плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Примечание.

Больше узнать об уравнениях указанного вида можно статье: Уравнения вида f(f(x))=x.pdf

3528

$левая фигурная скобка дробь: числитель: 3 плюс корень из 5 , знаменатель: 2 конец дроби правая фигурная скобка .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	3528	$левая фигурная скобка дробь: числитель: 3 плюс корень из 5 , знаменатель: 2 конец дроби правая фигурная скобка .$