Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 2373
i

Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств  си­сте­ма вы­ра­же­ний  новая стро­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка минус \log _2x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс \log _2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те x мень­ше или равно 3,  новая стро­ка минус 4|x в квад­ра­те минус 1| минус 3 боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те минус 1 конец дроби  конец си­сте­мы . .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Решим пер­вое не­ра­вен­ство. Из усло­вия сле­ду­ет, что  минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x боль­ше 0 и по­это­му

 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 в квад­ра­те x=2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x пра­вая круг­лая скоб­ка .

Пусть  ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x пра­вая круг­лая скоб­ка =z. Тогда имеем:

z в квад­ра­те плюс 2z\leqslant3 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка z минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка z плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка \leqslant0 рав­но­силь­но минус 3 мень­ше или равно z мень­ше или равно 1.

Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем:

 минус 3 мень­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 1 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби мень­ше или равно минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x мень­ше или равно 2 рав­но­силь­но минус 2 мень­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше или равно x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень 8 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Решим вто­рое не­ра­вен­ство. Учи­ты­вая, что 0 мень­ше x мень­ше 1, и, зна­чит, x в квад­ра­те минус 1 мень­ше 0, по­лу­ча­ем:

4 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 3 боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те минус 1 конец дроби рав­но­силь­но 4 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 3 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 1.

Сде­ла­ем за­ме­ну y=x в квад­ра­те минус 1, по­лу­чим не­ра­вен­ство 4y в квад­ра­те минус 3y минус 1 мень­ше или равно 0, от­ку­да, учи­ты­вая, что y мень­ше 0, на­хо­дим:

 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше или равно y мень­ше 0.

Сле­до­ва­тель­но:

 дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше или равно x в квад­ра­те мень­ше 1 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно x мень­ше 1.

Чтобы найти ре­ше­ние си­сте­мы, нужно срав­нить гра­ни­цы по­лу­чен­ных про­ме­жут­ков:

 дробь: чис­ли­тель: 3 в сте­пе­ни 4 , зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни 8 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 81, зна­ме­на­тель: 256 конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , по­это­му  дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень 8 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби мень­ше 1.

Оче­вид­но,  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби и  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень 8 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби мень­ше 1. По­это­му  дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень 8 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

 

Ответ:  левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень 8 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .


Аналоги к заданию № 2373: 2374 Все