Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 2335
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство (за­да­ния всту­пи­тель­ных эк­за­ме­нов) \log _a левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс \log _ax боль­ше 2.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Если a мень­ше или равно 0, a = 1, то левая часть не имеет смыс­ла, так как при дан­ных зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра ло­га­риф­мы не опре­де­ле­ны. Для по­ло­жи­тель­ных и от­лич­ных от 1 зна­че­ний па­ра­мет­ра вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

\log _a левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс \log _ax боль­ше 2 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x боль­ше 1, ло­га­рифм по ос­но­ва­нию a левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше ло­га­рифм по ос­но­ва­нию a a в квад­ра­те . конец си­сте­мы .

Рас­смот­рим два слу­чая. Пер­вый  — когда зна­че­ние па­ра­мет­ра лежит в про­ме­жут­ке от 0 до 1, то есть при по­тен­ци­ро­ва­нии не­ра­вен­ство ме­ня­ет знак:

 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию a x левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше ло­га­рифм по ос­но­ва­нию a a в квад­ра­те \underset 0 мень­ше a мень­ше 1 \mathop рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x боль­ше 1,x в квад­ра­те минус x мень­ше a в квад­ра­те конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x боль­ше 1,x в квад­ра­те минус x минус a в квад­ра­те мень­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x боль­ше 1, левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс 4a в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс 4a в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но 1 мень­ше x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс 4a в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Здесь мы вос­поль­зо­ва­лись тем, что при по­ло­жи­тель­ных а мень­ший ко­рень урав­не­ния x в квад­ра­те минус x минус a в квад­ра­те = 0 от­ри­ца­те­лен, а боль­ший  — боль­ше еди­ни­цы.

Пусть ос­но­ва­ние ло­га­риф­ма боль­ше еди­ни­цы, и при по­тен­ци­ро­ва­нии знак не­ра­вен­ства не ме­ня­ет­ся. Тогда:

 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию a левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше ло­га­рифм по ос­но­ва­нию a a в квад­ра­те \underset a боль­ше 1 \mathop рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x боль­ше 1, левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс 4a в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс 4a в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но x боль­ше дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс 4a в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Ответ: При 0 мень­ше a мень­ше 1: левая круг­лая скоб­ка 1; дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс 4a конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ; при a боль­ше 1: левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс 4a конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка ; при a мень­ше или равно 0,a=1 урав­не­ние не имеет смыс­ла.


Аналоги к заданию № 2335: 2336 Все