РЕШУ УРОК: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 14 № 2327 Добавить в вариант

Определите, при каких значениях параметра уравнение $2 десятичный логарифм левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка = десятичный логарифм левая круглая скобка ax правая круглая скобка$ имеет единственное решение?.

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем уравнение:

$2 десятичный логарифм левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка = десятичный логарифм левая круглая скобка ax правая круглая скобка равносильно система выражений новая строка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате =ax, новая строка x больше минус 1 конец системы . равносильно система выражений новая строка x в квадрате плюс левая круглая скобка 2 минус a правая круглая скобка x плюс 1=0, новая строка x больше минус 1. конец системы .$

Полученная система, а вместе с ней и исходное уравнение, имеют единственное решение лишь в трех случаях.

Случай 1. Уравнение $x в квадрате плюс левая круглая скобка 2 минус a правая круглая скобка x плюс 1=0$ имеет единственное решение, и это решение удовлетворяет неравенству $x больше минус 1.$ Дискриминант уравнения обращается в нуль при

$левая круглая скобка 2 минус a правая круглая скобка в квадрате минус 4 = 0 равносильно |2 минус a| = 2 равносильно совокупность выражений a=0. a=4. конец совокупности .$

Если $a=0,$ то $x= минус 1,$ этот корень не подходит. Если $a=4,$ то $x=1$   — подходит.

Случай 2. Квадратное уравнение $x в квадрате плюс левая круглая скобка 2 минус a правая круглая скобка x плюс 1=0$ имеет два различных корня, причем число −1 является меньшим из них. Этот случай невозможен, поскольку произведение корней этого уравнения равно 1.

Случай 3. Уравнение $x в квадрате плюс левая круглая скобка 2 минус a правая круглая скобка x плюс 1=0$ имеет два корня, один из которых меньше –1 (и потому не подходит), а другой  — больше 1. Для этого необходимо и достаточно (см. рис.), чтобы значение левой части уравнения в точке −1 было отрицательным:

$левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 2 минус a правая круглая скобка левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка плюс 1 меньше 0 равносильно 1 плюс a минус 2 плюс 1 меньше 0 равносильно a меньше 0.$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ;0 правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 4 правая фигурная скобка .$

Аналоги к заданию № 2327: 2328 Все

Спрятать решение · Помощь