Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 12 № 1719
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство с па­ра­мет­ром  дробь: чис­ли­тель: 5 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс a умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 5 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка a минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби мень­ше a.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Раз­де­лим чис­ли­тель и зна­ме­на­тель пра­вой части на 3 в сте­пе­ни x не равно 0. Пусть t= левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни x , t боль­ше 0. По­лу­чим:

 дробь: чис­ли­тель: t плюс a, зна­ме­на­тель: 5t плюс a минус 3 конец дроби мень­ше a рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: t плюс a, зна­ме­на­тель: 5t плюс a минус 3 конец дроби минус a мень­ше 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: t плюс a минус a левая круг­лая скоб­ка 5t плюс a минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 5t плюс a минус 3 конец дроби мень­ше 0 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: t плюс a минус 5at минус a в квад­ра­те плюс 3a, зна­ме­на­тель: 5t плюс a минус 3 конец дроби мень­ше 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: t левая круг­лая скоб­ка 1 минус 5a пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 4a минус a в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 5t плюс a минус 3 конец дроби мень­ше 0.

При a = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби чис­ли­тель равен  дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 25 конец дроби боль­ше 0, по­это­му не­ра­вен­ство сво­дит­ся к

5t плюс a минус 3 мень­ше 0 рав­но­силь­но t мень­ше дробь: чис­ли­тель: 14, зна­ме­на­тель: 25 конец дроби .

При про­чих a за­да­чу можно ре­шить ме­то­дом ин­тер­ва­лов. Для этого нужно знать знак 1 минус 5a и по­ря­док рас­по­ло­же­ния кор­ней чис­ли­те­ля и зна­ме­на­те­ля, то есть  дробь: чис­ли­тель: 3 минус a, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби и  дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те минус 4a, зна­ме­на­тель: 1 минус 5a конец дроби . Срав­ним их:

 дробь: чис­ли­тель: 3 минус a, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те минус 4a, зна­ме­на­тель: 1 минус 5a конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те минус 4a, зна­ме­на­тель: 1 минус 5a конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 3 минус a, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби боль­ше 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 5 левая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те минус 4a пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка 3 минус a пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 минус 5a пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 1 минус 5a конец дроби боль­ше 0 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 5a в квад­ра­те минус 20a минус 3 плюс a плюс 15a минус 5a в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 1 минус 5a конец дроби боль­ше 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: минус 3 минус 4a, зна­ме­на­тель: 1 минус 5a конец дроби боль­ше 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 4a плюс 3, зна­ме­на­тель: 5a минус 1 конец дроби боль­ше 0.

Это верно при a мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби и при a боль­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

Далее, вы­яс­ним сразу, при каких a эти корни по­ло­жи­тель­ны:

1)  t_1= дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те минус 4a, зна­ме­на­тель: 1 минус 5a конец дроби = дробь: чис­ли­тель: a левая круг­лая скоб­ка a минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 1 минус 5a конец дроби боль­ше 0 при a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ; 4 пра­вая круг­лая скоб­ка .

2)  t_2= дробь: чис­ли­тель: 3 минус a, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби боль­ше 0 при a мень­ше 3.

Итак, вид от­ве­та может ме­нять­ся при a при­над­ле­жит левая фи­гур­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; 0; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ; 3; 4 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка . Вы­пи­шем эти от­ве­ты, огра­ни­чи­ва­ясь сразу толь­ко по­ло­жи­тель­ны­ми t.

1)  При a мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби : 0 мень­ше t_2 мень­ше t_1, 1 минус 5a боль­ше 0, под­хо­дят t при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка t_2; t_1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

2)  При a = минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби : 0 мень­ше t_1 = t_2, 1 минус 5a боль­ше 0, ре­ше­ний нет.

3)  При  минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше a мень­ше 0: 0 мень­ше t_1 мень­ше t_2, 1 минус 5a боль­ше 0, под­хо­дят t при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка t_1; t_2 пра­вая круг­лая скоб­ка .

4)  При a = 0: 0 = t_1 мень­ше t_2, 1 минус 5a боль­ше 0, под­хо­дят t при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0; t_2 пра­вая круг­лая скоб­ка .

5)  При 0 мень­ше a мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби : t_1 мень­ше 0 мень­ше t_2, 1 минус 5a боль­ше 0, под­хо­дят t при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0; t_2 пра­вая круг­лая скоб­ка .

6)  При a = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби : ответ уже есть, t при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 14, зна­ме­на­тель: 25 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

При  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби мень­ше a мень­ше 3: 0 мень­ше t_2 мень­ше t_1, 1 минус 5a мень­ше 0, под­хо­дят t при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0; t_2 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка t_1; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

7)  При a = 3: 0 = t_2 мень­ше t_1, 1 минус 5a мень­ше 0, под­хо­дят t при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка t_1; бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

8)  При 3 мень­ше a мень­ше 4: t_2 мень­ше 0 мень­ше t_1, 1 минус 5a мень­ше 0, под­хо­дят t при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка t_1; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

9)  При a=4: t_2 мень­ше t_1 = 0, 1 минус 5a мень­ше 0, под­хо­дят t при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

10)  При a боль­ше 4: t_2 мень­ше t_1 мень­ше 0, 1 минус 5a мень­ше 0, под­хо­дят t при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

На­ко­нец, оста­лось найти x, ло­га­риф­ми­руя по­лу­чен­ные от­ве­ты.

 

Ответ: При a при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0; 0,2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка : левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , при a при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 4; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка : R , при a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка : левая круг­лая скоб­ка \log _\tfrac53 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 минус a, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ; \log _ дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те минус 4a, зна­ме­на­тель: 1 минус 5a конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка , при a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0,2; 3 пра­вая круг­лая скоб­ка : левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; \log _ дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 минус a, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка \log _ дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те минус 4a, зна­ме­на­тель: 1 минус 5a конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка , при a при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 3; 4 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка \log _ дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те минус 4a, зна­ме­на­тель: 1 минус 5a конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .


Аналоги к заданию № 1719: 1720 Все