Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 11 № 1310
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство вы­не­се­ни­ем мно­жи­те­ля из-под знака ра­ди­ка­ла  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3x конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те минус 9x плюс 6 минус |x минус 1| боль­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: |x минус 1| конец ар­гу­мен­та .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Най­дем сразу ОДЗ не­ра­вен­ства:

3x в квад­ра­те минус 9x плюс 6 боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но 3 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 3x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но 3 левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше или равно 1,x боль­ше или равно 2. конец со­во­куп­но­сти .

В любом из этих слу­ча­ев можно пе­ре­пи­сать не­ра­вен­ство в виде:

 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3|x минус 1| умно­жить на \absx минус 2 конец ар­гу­мен­та минус |x минус 1| боль­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: |x минус 1| конец ар­гу­мен­та .

Ясно, что при x=1 оно об­ра­ща­ет­ся в ра­вен­ство. При про­чих x можно со­кра­тить его на  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: |x минус 1| конец ар­гу­мен­та , так как это вы­ра­же­ние будет боль­ше нуля, тогда по­лу­чим  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3|x минус 2| конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: |x минус 1| конец ар­гу­мен­та боль­ше или равно 1.

При x мень­ше 1 по­лу­ча­ем:

 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 левая круг­лая скоб­ка 2 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус x конец ар­гу­мен­та боль­ше или равно 1 рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 минус 3x конец ар­гу­мен­та боль­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус x конец ар­гу­мен­та плюс 1 рав­но­силь­но 6 минус 3x боль­ше или равно 1 минус x плюс 1 плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус x конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но 4 минус 2x боль­ше или равно 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус x конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но 2 минус x боль­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус x конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но 4 минус 4x плюс x в квад­ра­те боль­ше или равно 1 минус x рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 3x плюс 3 боль­ше или равно 0,

что верно при всех x мень­ше 1. За­ме­тим, что оба раза мы воз­ве­ли в квад­рат без пе­ре­хо­да к след­ствию, так как под­ко­рен­ные вы­ра­же­ния не­от­ри­ца­тель­ны при x мень­ше 1. Итак, при x мень­ше 1 не­ра­вен­ство вы­пол­не­но.

При x боль­ше или равно 2 по­лу­ча­ем:

 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 1 конец ар­гу­мен­та боль­ше или равно 1 рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3x минус 6 конец ар­гу­мен­та боль­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 1 конец ар­гу­мен­та плюс 1 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но 3x минус 6 боль­ше или равно x минус 1 плюс 1 плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 1 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но 2x минус 6 боль­ше или равно 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 1 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но x минус 3 боль­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 1 конец ар­гу­мен­та .

При x мень­ше или равно 3 левая часть от­ри­ца­тель­на, а пра­вая по­ло­жи­тель­на, не­ра­вен­ство не вы­пол­не­но. При x боль­ше или равно 3 обе части не­от­ри­ца­тель­ны, можно воз­ве­сти в квад­рат:

x в квад­ра­те минус 6x плюс 9 боль­ше или равно x минус 1 рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 7x плюс 10 боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше или равно 2,x боль­ше или равно 5. конец со­во­куп­но­сти .

Учи­ты­вая усло­вие x боль­ше или равно 3, по­лу­ча­ем в этом слу­чае ответ x боль­ше или равно 5.

 

Ответ:  левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 5; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .


Аналоги к заданию № 1310: 1311 Все