Тип 26 № 7452 
Целые числа, делимость, уравнения в целых числах. 1. Признаки делимости, сократимость, последняя цифра
i
а) Докажите признак делимости на 9: число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
б) Докажите признак делимости на 3: число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.
Решение. Пусть дано число
В последнем равенстве первая строчка выражает доказываемый признак делимости, а вторая строчка состоит из слагаемых, кратных 9. Следовательно, число а делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма чисел в первой строке кратна 9. Это и доказывает признак делимости на 9.
Заметим также, что вторая строчка состоит из слагаемых, кратных 3, а потому число а делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма чисел в первой строке кратна 3. Это доказывает признак делимости на 3.
Примечание. Ясно, что в системе счисления с основанием q справедлив аналогичный признак делимости на число 
Приведем другое доказательство.
Заметим, что 
Тогда:
откуда получаем, что число а кратно 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр кратна 9.
Примечание. Попутно мы доказали, что число и его сумма цифр имеют одинаковые остатки при делении на 9.
составное.