РЕШУ УРОК — алгебра

3. Иррациональные уравнения в целых числах

1.  Тип 27 № 6187 Добавить в вариант

Иррациональные числа. 3. Иррациональные уравнения в целых числах

Решите уравнение $корень из x плюс корень из y = корень из: начало аргумента: 1960 конец аргумента .$

Решение.

2.  Тип 27 № 6188 Добавить в вариант

Иррациональные числа. 3. Иррациональные уравнения в целых числах

Решите уравнение $корень из x плюс корень из y = корень из: начало аргумента: 1998 конец аргумента .$

3.  Тип 27 № 6189 Добавить в вариант

Иррациональные числа. 3. Иррациональные уравнения в целых числах

Решите уравнение $корень из x плюс корень из y = 12$ в целых числах. Определите количество его корней.

Решение. Ясно, что $0 меньше или равно x, y меньше или равно 12.$ Для таких значений переменной равносильны следующие преобразования:

$корень из x = 12 минус корень из y равносильно x = 144 плюс y минус 24 корень из y равносильно корень из y = дробь: числитель: 144 плюс y минус x, знаменатель: 24 конец дроби .$

Правая часть полученного уравнения на множестве его решений является рациональным числом, следовательно, и левая часть должна быть рациональной, откуда следует, что $x = m в квадрате ,$ и аналогично $y = n в квадрате ,$ где $m, n принадлежит N \cup левая фигурная скобка 0 правая фигурная скобка .$ Тогда исходное уравнение принимает вид

$корень из: начало аргумента: m в квадрате конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: n в квадрате конец аргумента = 12 равносильно |m| плюс |n| = 12 равносильно m плюс n = 12 равносильно$

$равносильно система выражений m = 0, n = 12, конец системы .$

$система выражений m = 1, n = 11, конец системы .$

$система выражений m = 2, n = 10, конец системы .$

$\dots$

$система выражений m = 12, n = 0. конец системы .$

Таким образом, решениями уравнения являются

$система выражений x = 0, y = 144, конец системы .$

$система выражений x = 1, y = 121, конец системы .$

$система выражений x = 4, y = 100, конец системы .$

$\dots$

$система выражений x = 144, y = 0. конец системы .$

Ответ: $левая фигурная скобка левая круглая скобка x; y правая круглая скобка : левая круглая скобка 0; 144 правая круглая скобка , левая круглая скобка 1; 121 правая круглая скобка , левая круглая скобка 4; 100 правая круглая скобка , \ldots, левая круглая скобка 144; 0. правая круглая скобка правая фигурная скобка ,$ 13 решений.

6189

$левая фигурная скобка левая круглая скобка x; y правая круглая скобка : левая круглая скобка 0; 144 правая круглая скобка , левая круглая скобка 1; 121 правая круглая скобка , левая круглая скобка 4; 100 правая круглая скобка , \ldots, левая круглая скобка 144; 0. правая круглая скобка правая фигурная скобка ,$ 13 решений.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
2	6189	$левая фигурная скобка левая круглая скобка x; y правая круглая скобка : левая круглая скобка 0; 144 правая круглая скобка , левая круглая скобка 1; 121 правая круглая скобка , левая круглая скобка 4; 100 правая круглая скобка , \ldots, левая круглая скобка 144; 0. правая круглая скобка правая фигурная скобка ,$ 13 решений.