Комбинированные задания для подготовки к экзаменам.14. Найдите все значения параметра a, при которых
i
Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых уравнение неравенство выполняется для всех значений х..
Решение.
Заметим, что
Пусть Ввиду того, что множеством значений выражения при является промежуток Значит, неравенство выполняется для всех действительных значений x тогда и только тогда, когда на промежутке выполняется неравенство
Далее имеем:
1) если то неравенство не имеет решений на промежутке поскольку на этом промежутке оба слагаемых левой части неравенства отрицательны;
2) если то неравенство равносильно неравенству
Функция должна быть положительна на промежутке значит, ее график должен быть расположен выше интервала оси абсцисс, то есть должно выполняться условие (см. рис.). Решая неравенство с учетом условия окончательно получаем
Ответ:
Замечание.
Пункт 2 можно выполнить иначе с помощью следующих рассуждений.
Поскольку вершина параболы имеет координаты функция возрастает на промежутке и, значит, множеством ее значений на этом промежутке является промежуток то есть промежуток Таким образом, неравенство верно для всех t из промежутка в том и только в том случае, когда выполняется условие откуда с учетом условия окончательно получаем
Комбинированные задания для подготовки к экзаменам.14. Найдите все значения параметра a, при которых
i
Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых уравнение неравенство не имеет решений.
Решение.
Неравенство не имеет смысла при неположительных значениях параметра и при и, поэтому не имеет решений при указанных
Заметим, что
Положим Ввиду того, что множество значений выражения при является промежуток Значит, неравенство не имеет решений тогда и только тогда, когда на промежутке не имеет решений неравенство
Имеем:
1) при неравенство не имеет решений на промежутке так как на этом промежутке оба слагаемых левой части неравенства отрицательны;
2) при неравенство равносильно неравенству
Функция должна быть неположительна на промежутке значит, её график должен быть расположен не выше интервала оси абсцисс, то есть, должно выполняться условие Решая неравенство получаем
Ответ:
Замечание.
Пункт 2) можно выполнить иначе с помощью следующих рассуждений:
Поскольку вершина параболы имеет координаты функция возрастает на промежутке и, значит, множеством ее значений на этом промежутке является промежуток , то есть промежуток Таким образом, неравенство неверно для всех t из промежутка в том и только в том случае, когда выполняется условие
выполняется для всех значений х..
Ввиду того, что 
множеством значений выражения 
при 
является промежуток 
Значит, неравенство 
выполняется для всех действительных значений x тогда и только тогда, когда на промежутке 
выполняется неравенство 
то неравенство 
не имеет решений на промежутке 
поскольку на этом промежутке оба слагаемых левой части неравенства отрицательны;
то неравенство 
должна быть положительна на промежутке 
(см. рис.). Решая неравенство 
с учетом условия 
имеет координаты 
функция 
то есть промежуток 
Таким образом, неравенство 
верно для всех t из промежутка 
откуда с учетом условия 
не имеет решений.
и, поэтому не имеет решений при указанных 
Ввиду того, что 
множество значений выражения 
при 
Значит, неравенство 
не имеет решений тогда и только тогда, когда на промежутке 
неравенство 
так как на этом промежутке оба слагаемых левой части неравенства отрицательны;
неравенство 
должна быть неположительна на промежутке 
оси абсцисс, то есть, должно выполняться условие 
Решая неравенство 
получаем 
имеет координаты 
функция 
, то есть промежуток 
Таким образом, неравенство 
неверно для всех t из промежутка 