Комбинированные задания для подготовки к экзаменам.14. Найдите все значения параметра a, при которых
i
Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых уравнение имеет единственное решение.
Решение.
Пусть
Имеем:
поэтому получаем: если a = 0, то t > 0; если то Поскольку при a = 0 решением являются все положительные значения t, уравнение имеет единственное решение, если
Комбинированные задания для подготовки к экзаменам.14. Найдите все значения параметра a, при которых
i
Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых уравнение имеет единственное решение.
Решение.
Сделаем замену Тогда, в силу того, что функция монотонна, исходное уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда уравнение имеет единственный положительный корень.
При левая часть полученного уравнения отрицательная, а правая неотрицательная, поэтому полученное уравнение не имеет корней, меньших a.
При получаем:
При любое положительное значение t является корнем уравнения.
При получаем единственный корень: Для этого корня должны выполняться условия и
Условие выполняется при
Условие выполняется при
Таким образом, исходное уравнение имеет единственный корень при
имеет единственное решение.
поэтому получаем: если a = 0, то t > 0; если 
то 
Поскольку при a = 0 решением являются все положительные значения t, уравнение имеет единственное решение, если 
имеет единственное решение.
Тогда, в силу того, что функция 
монотонна, исходное уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда уравнение 
имеет единственный положительный корень.
левая часть полученного уравнения отрицательная, а правая неотрицательная, поэтому полученное уравнение не имеет корней, меньших a.
получаем: 
любое положительное значение t является корнем уравнения.
получаем единственный корень: 
Для этого корня должны выполняться условия 
выполняется при 
выполняется при 
