Комбинированные задания для подготовки к экзаменам.13. Найдите все значения параметра a, при которых
i
Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых уравнение имеет единственный корень.
Решение.
Запишем уравнение в виде Рассмотрим две функции: и Графиком функции является полуокружность радиуса 2 с центром в точке лежащая в верхней полуплоскости. При каждом значении a графиком функции является прямая с угловым коэффициентом проходящая через точку
Уравнение имеет единственный корень, если графики функций и имеют единственную общую точку: либо прямая касается полуокружности, либо пересекает её в единственной точке.
Касательная MC, проведённая из точки M к полуокружности, имеет угловой коэффициент, равный нулю, то есть при исходное уравнение имеет единственный корень. При прямая не имеет общих точек с полуокружностью.
Прямая MA, заданная уравнением проходит через точки и следовательно, её угловой коэффициент При прямая, заданная уравнением имеет угловой коэффициент не больше, чем у прямой MA, и пересекает полуокружность в двух точках. При прямая, заданная уравнением имеет угловой коэффициент больше, чем у прямой MA, и не больше, чем у прямой MB, и пересекает полуокружность в единственной точке. Получаем, что при исходное уравнение имеет единственный корень. При прямая не имеет общих точек с полуокружностью.
Комбинированные задания для подготовки к экзаменам.13. Найдите все значения параметра a, при которых
i
Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых уравнение имеет единственный корень.
Решение.
Запишем уравнение в виде Рассмотрим две функции: и Графиком функции является полуокружность радиуса 3 с центром в точке лежащая в верхней полуплоскости (см. рис.). При каждом значении a графиком функции является прямая с угловым коэффициентом проходящая через точку
Уравнение имеет единственный корень, если графики функций и имеют единственную общую точку: либо прямая касается полуокружности, либо пересекает её в единственной точке.
Касательная MC, проведённая из точки М к полуокружности, имеет угловой коэффициент, равный нулю, то есть при исходное уравнение имеет единственный корень. При прямая не имеет общих точек с полуокружностью.
Прямая MA, заданная уравнением проходит через точки и следовательно, её угловой коэффициент
При прямая, заданная уравнением имеет две общие точки с полуокружностью. Прямая MB, заданная уравнением проходит через точки и следовательно, её угловой коэффициент При прямая, заданная уравнением имеет угловой коэффициент больше, чем у прямой MA и не больше, чем у прямой MB, и пересекает полуокружность в единственной точке. Получаем, что при исходное уравнение имеет единственный корень. При прямая не имеет общих точек с полуокружностью.
имеет единственный корень.
Рассмотрим две функции: 
и 
Графиком функции 
лежащая в верхней полуплоскости. При каждом значении a графиком функции 
является прямая с угловым коэффициентом 
проходящая через точку 
и 
исходное уравнение имеет единственный корень. При 
прямая не имеет общих точек с полуокружностью.
проходит через точки 
и 
следовательно, её угловой коэффициент 
При 
прямая, заданная уравнением 
имеет угловой коэффициент не больше, чем у прямой MA, и пересекает полуокружность в двух точках. При 
прямая, заданная уравнением 
исходное уравнение имеет единственный корень. При 
прямая не имеет общих точек с полуокружностью.
имеет единственный корень.
Рассмотрим две функции:
и 
Графиком функции 
является полуокружность радиуса 3 с центром в точке 
лежащая в верхней полуплоскости (см. рис.). При каждом значении a графиком функции 
проходящая через точку 
и 
имеют единственную общую точку: либо прямая касается полуокружности, либо пересекает её в единственной точке.
прямая не имеет общих точек с полуокружностью.
проходит через точки 
и 
следовательно, её угловой коэффициент 
прямая, заданная уравнением 
имеет две общие точки с полуокружностью. Прямая MB, заданная уравнением 
следовательно, её угловой коэффициент 
При 
прямая, заданная уравнением 
имеет угловой коэффициент больше, чем у прямой MA и не больше, чем у прямой MB, и пересекает полуокружность в единственной точке. Получаем, что при 
исходное уравнение имеет единственный корень. При 
прямая не имеет общих точек с полуокружностью.